Уравнение сплошности (или неразрывности) потока

В основе вывода дифференциального уравнения неразрывности лежит закон сохранения массы: сколько массы втекает в объём, столько же должно и вытекать.

Элемент объёма жидкости (dx, dy, dz) располагается в произвольной точке пространства с координатами (x, y, z) и движется вдоль линии тока со скоростью w, проекции которой на оси будут равны w_x, w_y, w_z. Состояние жидкости и свойство переноса в точке (x, y, z) обозначаем через Т, р, r, m.

Пусть плотность жидкости будет постоянной (), тогда масса жидкости в объёме (dx, dy, dz) должна сохраняться постоянной как при стационарном (скорость не изменяется во времени), так и при нестационарном режимах течения. Результирующий массовый расход жидкости через шесть граней должен быть равен нулю.

Массовый расход жидкости вдоль оси Х через единицу площади будет равен , .

Массовый расход жидкости через левую грань элементарного объёма будет равен , .

Разность массовых расходов жидкости через две перпендикулярные оси Х грани или скорость накопления массы в элементе (dx, dy, dz) будет равна

.

Аналогично для осей Y и Z:

, .

При условии постоянной плотности () уравнение неразрывности потока получаем путём сложения скоростей накопления массы и приравнивая к нулю эту сумму массовых расходов через все шесть граней.

Т.к. , то, следовательно, . (11.5)

(дифференциальное уравнение сплошности потока для несжимаемой жидкости)

В векторной форме уравнение сплошности (неразрывности) записывается как . (11.6)

Для сжимаемой жидкости (т.е. для жидкости с переменной плотностью) разность между скоростью прихода массы в элемент и скоростью ухода массы из элемента равна скорости накапливания массы элементом объёма.

. (11.7)

(уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости)

В векторной форме:

. (11.8)

Избыток массы обуславливается изменением плотности жидкости в объёме, равен изменению массы данного объёма во времени.