Дифференциальное уравнение энергии

В основе уравнения энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим элемент массы, мгновенно заменяющий объём dxdydz с центром в точке (x, y, z).

Элемент массы проходит через точку (x, y, z) со скоростью . Скорость изменения температуры определяется полной (субстанционной) производной

. (11.16)

Скорость изменения накопленной в элементе энергии (скорость накапливания) является произведением теплоёмкости С, массы rdxdydz и скорости изменения температуры, т.е.

.

Скорость накапливания энергии должна быть равна скорости прихода энергии через все шесть граней элемента.

Скорость прихода энергии за счёт теплопроводности определяется по закону Фурье. Плотность теплового потока в элемент в направлении оси х равна .

Скорость прихода энергии за счёт теплопроводности в направлении оси х через грань с площадью dydz равна

. (11.17)

Соотношения аналогичные (11.17) могут быть получены для скорости прихода энергии в направлении осей y и z.

Сумма трёх скоростей прихода энергии по осям x, y, z устанавливается равной скорости накапливания энергии в элементе, т.е.

, (11.17)

. (11.18)

.

Уравнение (11.18) называют уравнением энергии, которое описывает изменение температуры в движущейся жидкости.

Принимаем в (11.18) , , , а также постоянным коэффициент теплопроводности l и вводя обозначение

,

где а – коэффициент температуропроводности, ,

получим уравнение нестационарной теплопроводности в твёрдом теле при отсутствии внутренних источников теплоты

. (11.19)

Получили (11.19) уравнение теплопроводности Фурье. Решение этого уравнения – это температурное поле в теле .

Если температура твёрдого тела не меняется во времени (стационарная теплопроводность), то из выражения (11.19) получаем

. (11.20)

Т.е. получаем уравнение Лапласа, где – оператор Лапласа (лапласиан).