Гармонический анализ периодических сигналов

При разложении периодического сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут:

(4.1.10)

или

(4.1.11)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом функции .

Система функций (4.1.10) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (4.1.11) – к комплексной форме.

Ряд Фурье можно записать в форме (используем выражение (1.11):

(4.1.12)

Совокупность коэффициентов ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала. Коэффициенты ряда (4.1.12) легко определяются с помощью формул (4.1.9).

Норма базиса:

(4.1.13)

Таким образом независимо от .

Используя (4.1.9) получаем:

(4.1.14)

В выражениях (4.1.13) и (4.1.14) учтем, что функции соответствует комплексно-сопряженная функция

Коэффициенты в общем случае являются комплексными величинами. Подставив в (4.1.14) получим:

(4.1.15)

Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента определяются формулами:

(4.1.16)

Коэффициенты часто бывает удобно записать в форме

(4.1.17)

где

(4.1.18)

Общее выражение (1.12) можно привести к виду

(4.1.19)

Перейдем к тригонометрической форме ряда Фурье:

(4.1.20)

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (4.1.19) необходимо записать следующим образом:

(4.1.21)

Вместо выражения (1.21) часто встречается следующая форма записи:

(4.1.22)

причем

Из сопоставления выражений (4.1.22) и (4.1.21) видно, что амплитуда -й гармоники связана с коэффициентом ряда (4.1.19) соотношением а

Таким образом, для всех положительных значений (включая и )

(4.1.23)

Две характеристики - амплитудная и фазовая, т.е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, т.к. состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам и т.д. (рис. 4.1.2).

Рис. 4.1.2

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наполнения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на прохождение сигналов.