Гармонический анализ непериодических сигналов

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке .

(рис. 2.1)

Выделив произвольный отрезок времени , включающий в себя промежуток , мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье

(2.1)

где , а коэффициенты в соответствии с формулой (1.14)

(2.2)

Подставив (2.2) в (2.1), получим

(2.3)

здесь учтено, что

Вне отрезка ряд (2.1) определяет функцию 0, где - целое число, т.е. периодическую функцию, полученную повторением вправо и влево с периодом . Для того чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, величина должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок , выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты . Устремляя к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющий, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию , заданную в интервале (рис.2.1). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, т.к. при основная частота функции . Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равно основной частоте становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.

Поэтому в выражении (2.3) можно заменить на , на текущую частоту , а операции суммирования операцией интегрирования.

Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье

(2.4)

Внутренний интеграл, являющейся функцией ,

(2.5)

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В случае, когда пределы и не уточнены, спектральная плотность записывается в форме

(2.6)

После подстановки (2.6) в (2.4) получаем

(2.7)

Выражения (2.6) (2.7) называются прямым и обратным преобразованием Фурье.

Выражение (2.6) отличается от (1.14) отсутствием множителя . Следовательно, спектральная плотность обладает всеми основными свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье.

По аналогии с (1.15) можно написать

(2.8)

где

(2.9)

Модуль и аргумент спектральной плотности определяется выражениями

(2.10)

(2.11)

Первое из этих выражений можно рассматривать как АЧХ, а втрое как ФЧК сплошного спектра непериодического сигнала .

На основании (2.8) нетрудно привести интегральные преобразование (2.7) к тригонометрической форме. Имеем, аргумент функции в последующих выражениях опущен:

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подинтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором- нечетной относительно . Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно:

(2.12)

Отметим, что при выражение (2.5) переходит в следующее:

площадь под кривой .

(2.12)

Следовательно для любого сигнала спектральная плотность на первой частоте равна “площади сигнала”. Это правило полезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов.