Корреляционный анализ детерминированных сигналов.

Взаимный энергетический спектр сигналов

Характеристика совокупности двух сигналов определяется выражением

, (5.1)

Их скалярное произведение, пропорциональное взаимной энергии этих сигналов.

Если сигналы тождественно совпадают, т.е. когда , то скалярное произведение переходит в энергию сигнала

.

Найдем связь между скалярным произведением сигналов и их спектральными плотностями.

Положим, что оба сигнала и в соотношении (5.1) заданы соответствующими спектральными плотностями и . Согласно обратному преобразованию Фурье имеем

;

.

Подставим запись сигнала в выражение (5.1)

,

а затем изменив порядок интегрирования во времени и частоте получим

.

Внутренний интеграл в последней формуле-это спектральная плотность сигнала , вычисленная при отрицательности значений аргумента, т.е.

.

Далее будем считать, что рассматриваемые сигналы описываются вещественными функциями времени. Тогда

, (5.2)

Где -спектральная плотность, комплексно-сопряженная со спектральной плотностью .

Соотношение (5.2) называется обобщенной формулой Релея (или равенством Парсеваля).

Если в выражение (5.1) сигнал запишем обратным преобразованием Фурье, то получим:

. (5.3)

Из сопоставления выражений (5.2) и (5.3) следует, что скалярное произведение двух сигналов (или взаимная энергия двух сигналов) прямо пропорционально скалярному произведению спектральных плотностей этих сигналов, причем спектральная плотность одного из сигналов должна быть представлена в комплексно-сопряженной форме.

Коэффициентом пропорциональности является множитель .

Поскольку для любого комплексного числа

,

то можно ввести вещественную функцию

, (5.4)

которая позволяет выразить скалярное произведение вещественных сигналов и следующим образом:

. (5.5)

Функцию называют взаимным энергетическим спектром сигналов и :

Взаимный энергетический спектр двух сигналов равен вещественной части произведения спектральной плотности одного из сигналов и комплексно-сопряженной спектральной плотности другого сигнала

Формула (5.5) вскрывает структуру связи двух сигналов. Оказывается, что в формировании взаимной энергии различные участки спектра сигналов играют в общем случае неодинаковую роль. Наибольший вклад обеспечивают те частотные области, в которых спектры сигналов перекрываются.

Из соотношений (5.4) и (5.5), в частности, следует, что если спектральные плотности сигналов и не перекрываются на оси частот , то как взаимный энергетический спектр , так и скалярное произведение этих сигналов становится равным нулю. Такие сигналы называются ортогональными.

Примером ортогональных сигналов служат сигналы и спектральные плотности которых изображены на рис.5.1.

Рис.5.1

Очевидно, что ортогональными являются так же сигналы и , не перекрывающиеся во временном пространстве (рис.5.2).

Рис.5.2

Энергетический спектр сигнала

Спектральное представление энергии сигнала легко получить, как частный случай обобщённой формулы Релея (5.3). Так если сигналы и одинаковые и , то формула (5.3) приобретает вид

.

Левая часть данного выражения равна энергии сигнала , т.е.

,

а произведение спектральных плотностей в правой части

Представляет собой вещественную функцию, равную квадрату модуля спектральной плотности сигнала , т.е.

.

Из произведенных соотношений следует, что энергетический спектр сигнала равен квадрату модуля его спектральной плотности

, (5.6)

а полная энергия сигнала связана с его энергетическим спектром соотношением

. (5.7)

Выражение (5.7) констатирует важный результат: энергия любого сигнала может быть представлена как результат суммирования вкладов энергий гармоник сигнала, расположенных в непересекающихся частотных интервалах его энергетического спектра.

При изучении сигналов в помощью их энергетических спектров неизбежно теряется информация, которая заключена в фазовом спектре, поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы. В частности, при энергетическом подходе все сигналы, одинаковые по форме, но различающиеся своим расположением на оси времени, выступают как совершенно равноправные и не различные сигналы.

Автокорреляционная функция

Для количественного определения степени отличия сигнала и его смещенной во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала , равную скалярному произведению сигнала и копии:

. (5.8)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так, что интеграл вида (5.8) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

. (5.9)

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

. (5.10)

Важное свойство АКФ состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

. (5.11)

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши-Буняковского

. (5.12)

АКФ представляется симметрической кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала АКФ может иметь монотонно убывающий характер, так и колеблющийся характер.

Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией

Автокорреляционная функция сигнала в выражении (5.6) есть функция времени . Поэтому может сложится впечатление, что методы корреляционного анализа выступают, как некоторые особенные методы, не имеющие прямой связи со спектрами сигналов. Однако существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

Действительно АКФ есть скалярное произведение

,

где .

Воспользовавшись обобщенной формулой Релея (5.3), можно записать равенство

.

Спектральная плотность смещения во времени сигнала

и поэтому .

Таким образом, приходим к важному результату:

.

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала, т.е.

Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция сигнала связаны обратным преобразованием Фурье

, (5.13)

а следовательно, существует и прямое преобразование Фурье:

. (5.14)

Выражения (5.13) и (5.14) образуют пару интегральных преобразований Фурье для автокорреляционной функции сигнала и его энергетического спектра.

Связь между АКФ и энергетическим спектром представляет установить совсем не очевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Энергетический спектр любого сигнала , по определению должен быть положительным. Данное условие будет выполняться не при любом выборе АКФ. Например, если взять

,

(т.е. АКФ представляет собой прямоугольный импульс амплитудой и длительностью ) и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то оказывается, что

.

Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр сигнала, поскольку энергия не может принимать отрицательных значений.

Взаимокорреляционная функция двух сигналов.

Принцип определения взаимокорреляционной функции: обобщая выражение (5.8), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и скалярное произведение вида.

. (5.15)

Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть сигналы и в исходном состоянии ортогональны, так, что

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал будет сдвинут относительно сигнала на некоторое время . Ясно, что ВКФ служит мерой “устойчивости” ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Взаимокорреляционная функция единым образом описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени.

Некоторые свойства взаимокорреляционной функции. Если в формуле (5.15) заменить переменную интегрирования, введя , так что , то очевидно, возможна и такая запись:

. (5.16)

Поэтому

. (5.17)

В отличие от АКФ одиночного сигнала ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента : .

Если сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коша-Буняковского:

,

Откуда

, (5.18)

Так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует отметить то, что при значения ВКФ не обязаны достичь максимума.

Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью

Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики.

На основании обобщенной формулы Релея

И поскольку спектр смещенного во времени сигнала

, то

. (5.19)

Имея в виду, что величина есть взаимный энергетический спектр сигналов и , определенный в бесконечном интервале частот , приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.