Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

1. y=e^x

Находим производные различных порядков:

x= 0

По (15.11) получаем

(15.2.5)

Радиус сходимости этого ряда , т.е. ряд (15.2.5) сходится к функции e^x на всей числовой оси.

2. , где m – любое рациональное число

……………………………… ………………………

……………………………………………………………………………

На основании (15.10) получаем ряд Маклорена для функции

(15.2.6

Ряд (15.2.6) называется биномиальным рядом. Его радиус сходимости

,

т.е. ряд сходится в интервале (-1, 1).

Замечание: если m – целое, положительное число, то биномиальный ряд представляет собой многочлен степени m, так как при m-n +1=0. n -ый член ряда (15.2.6) и все остальные члены равны нулю. Этот многочлен называется биномом Ньютона.

3. .

Представим

Подынтегральную функцию будем рассматривать как геометрический ряд с первым членом, равным единице, и знаменателем , который сходится, если , т.е. в интервале (-1, 1). Это означает, что

(15.2.7)

Интегрируя почленно ряд (15.2.7), получаем разложение в ряд функции

, (15.2.8)

который сходится внутри интервала (-1, 1). Сходимость на концах интервала требует дополнительного исследования.

Используя ряды (15.2.5) – (15.2.8), можно достаточно просто находить разложения в ряд более сложных функций, не прибегая к их многократному дифференцированию, что может быть достаточно сложно.

Примеры. Разложить в ряд функции

1. . Воспользуемся разложением (15.2.7)

2. . Воспользуемся биномиальным рядом, полагая , подставив вместо

,

3. . Воспользуемся рядом (15.2.4)

Во всех случаях следует дополнительно исследовать сходимость рядов на концах интервала сходимости.

Используя ряды (15.2.5) – (15.2.8) и приведенные примеры, можно достаточно просто получать разложения в ряд функций , , , и т.п.