Признак Коши

Теорема 14.1.10.Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Если l < 1, ряд сходится; если l > 1, ряд расходится; если l =1, вопрос о сходимости ряда остается не решенным.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы Даламбера).

Из определения предела следует: для любого e> 0 существует такой номер N, что для всех n> N, то выполняется неравенство .

1) Пусть l < 1 и q ­– любое число, удовлетворяющее условию l < q < 1. Примем e= q - l. Тогда , или для n > N, откуда a_n< qⁿ. Придавая n значения N+1, N+2, …, N+k, получаем a_n+1 < q ^N+1, a_n+2 < q ^N+2, …, a_n+k < q ^N+k, … От данного ряда отбросим первые N членов. Получаем ряд a_n+1 + a_n+2 +…+a_n+k+… Сравним этот «отсеченный» ряд с рядом q^N+1 + q^N+2 +…+ q^N+k +…, который представляет собой сходящийся геометрический ряд, так как его знаменатель q₀< q< 1. Так как члены «отсеченного» ряда меньше соответствующих членов геометрического ряда, то по признаку сравнения «отсеченный» ряд сходится. Но тогда сходится и данный ряд (теорема 14.1.3).

L> 1. В этом случае (см. признак Даламбера) члены ряда, начиная с номера N попадают в окрестность точки l, т.е. становятся больше единицы: an> 1. Тем самым не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

1.

Найдем , ряд сходится.

2.

Найдем , ряд расходится.