Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
|
|
Теорема 14.1.5. Если ряд сходится, предел его общего члена при n®¥ равен нулю, т.е.  (14.1.4)
|
Доказательство. Так как ряд сходится, то 
и 
. Тогда 
, но 
, откуда 
Следствие. Если 
, ряд расходится.
Пример Исследовать на сходимость ряд 
, ряд расходится.
Замечание. Следует иметь в виду, что утверждение, обратное необходимому признаку сходимости неверно. Признак недостаточен для сходимости ряда. Из условия 
не следует, что ряд сходится.
сходится 
ряд сходится
В качестве примера рассмотрим гармонический ряд 
.
Как видим, 
, т.е. выполнен необходимый признак сходимости. Покажем, что при этом гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы Sn и S2n
(14.5)
Предположим, гармонический ряд сходится.
В этом случае 
и 
и 
, что противоречит равенству (14.5). Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.