Признак Даламбера

Теорема 14.1.9. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения (n +1)-го к n -му члену: . Если l < 1, ряд сходится; если l > 1, расходится; если l =1, вопрос о поведении ряда остается нерешенным.

Доказательство. Из определения предела следует, что для любого e> 0 существует такой номер N, начиная с которого выполняется неравенство . После преобразования получаем, что для n > N .

1) Пусть l < 1, и q – любое число, удовлетворяющее условию l < q < 1.

^{0 l q 1}

Выберем e= q - l > 0. Тогда для n > N выполняется неравенство , т.е. a_n+1< a_nq. Это неравенство запишем для n > N.

a_N+1< qa_N, , a_N+2< a_N+1q< a_Nq², … a_N+k< a_Nq^k, …

Chfdybv lfyysq hzl a₁+a₂+a₃+…+a_N+a_N+1+a_N+2+…+a_N+k+… c utjvtnhbxtcrbv hzljv a_N+qa_N+q²a_N+…+q^ka_N…

Этот геометрический ряд сходится, т.к. | q |< 1. Следовательно, на основании признака сравнения сходится ряд, полученный из данного ряда путем отбрасывания первых N членов. Но тогда в соответствии со свойствами сходящихся рядов (теорема 14.1.1) сходится и данный ряд ;

2) Пусть l > 1.

0 1 l -e l l+e

Если , то существует такой номер N, начиная с которого, дроби

попадают в сколь угодно малую e-окрестность точки l и, следовательно, для n > N дроби принимают значения большие единицы, т.е. или . Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1.

, , – ряд сходится

2. , , ,

– ряд расходится

3. , .

О поведении ряда ничего нельзя сказать, если использовать признак Даламбера. Но можно заметить, что , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

4.

Используем признак Даламбера. .

О поведении ряда ничего сказать нельзя. Используем другие способы определения сходимости. Преобразуем общий член ряда . Найдем частичную сумму ряда . .

Существует предел частичной суммы. Значит, ряд сходится, и его сумма равна 1.

Сравнение рассматриваемых рядов с геометрическим рядом позволяет доказать их сходимость (расходимость).