Доказательство. а) Пусть Sn(А) и Sn(B) – частичные суммы рядов (А) и (В) соответственно, S(B) – сумма ряда (B), т.е

а) Пусть S_n (А) и S_n (B) – частичные суммы рядов (А) и (В) соответственно, S(B) – сумма ряда (B), т.е. существует предел . Очевидно, в силу неравенства (14.6), а , т.к. все члены ряда (B) положительны (b_n> 0).

Из обоих неравенств следует , т.е. последовательность частичных сумм ряда (А) ограничена. Кроме того, последовательность частичных сумм ряда (А) монотонно возрастает, т.к. все а_n > 0, откуда

Следовательно, на основании признака существования предела (5.3.6) существует , т.е. ряд (А) сходится.

Из условия на основании свойства (т. 5.1.4) пределов получаем , т.е , что и требовалось доказать.

б) пусть ряд (А) расходится, т.е , но из условия (14.1.6) . Переходя к пределу, получаем , а это означает, что , т.е. ряд (B) расходится.

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом Достаточно сравнить общие члены рядов. Очевидно , но гармонический ряд расходится, следовательно, и данный ряд также расходится.

2.

Сравним данный ряд со следующим рядом:

Этот ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Т.к. , тогда и данный ряд сходится.

Недостаток признака сравнения заключается в необходимости привлекать другие ряды, что бывает не всегда просто, и относительно которых также следует решать вопросы их сходимости. Кроме того, необходимо доказывать в каждом случае выполнимость неравенства (14.6). Однако достаточно часто удобно использовать эталонные ряды, к которым можно отнести сходящийся геометрический ряд (прогрессия) при |q|< 1, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд , который сходится, если < 1 и расходится, если ³ 1 (было показано выше)

Наряду с рассмотренным признаком сравнения рассмотрим еще один.

Теорема 14.1.7 (предельный признак сравнения).

Если и – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то оба ряда одновременно сходятся, либо расходятся (ведут себя одинаково)

Доказательство. Пусть .

По определению предела числовой последовательности (тема 5.1) для любого e> 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство , которое можно записать следующим образом , или (14.1.7)

Используем признак сравнения и свойства сходящихся рядов применительно к двойному неравенству (14.1.7). Если ряд сходится, то сходится и ряд (теорема 14.1.2). Но на основании признака сравнения сходится и ряд . Предположим, сходится ряд , но тогда сходится и ряд , а значит и сходится и ряд . Предположим ряд расходится, но тогда расходится и ряд , а следовательно расходится и ряд ; если расходится , то аналогично рассуждая, получаем, что расходится и ряд .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Сравним с рядом , который сходится ()

Теорема 14.1.8. Пусть даны два ряда (А) и (В). Если хотя бы начиная с некоторого номера выполняется неравенство , то если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится и ряд (В).

Доказательство. Пусть , , … .

Тогда или . Если ряд сходится, то сходится и ряд , следовательно на основании признака сравнения (теорема 6) сходится и ряд , значит, сходится и ряд (А) . Если расходится ряд (А), то расходится и ряд , а значит, и ряд . Но тогда расходится и ряд (В).

Выше было отмечено, что признаки сравнения неудобны тем, что требуют привлечения других рядов, желательно хорошо знакомых, которых не так много. Целесообразно рассмотреть признаки, когда ряд как бы говорил сам за себя.