Доказательство. Пусть an> an+1 и . Рассмотрим последовательность четных частичных сумм (n=2m), записав ее в виде

Пусть a_n> a_n+1 и . Рассмотрим последовательность четных частичных сумм (n=2m), записав ее в виде

S_n=S_2m=a₁-(a₂-a₃)-(a₄-a₅)-…-(a_2m-2-a_2m-1)-a_2m

Все выражения, стоящие в скобках, положительны, откуда следует что S_2m< a₁, т.е. последовательность четных частичных ограничена.

Рассмотрим следующую четную частичную сумму

S_2m+2< S_2m+(a_2m+1-a_2m+2)> S_2m. Это означает, что последовательность четных частичных сумм монотонно возрастает. На основании признака существования пределов (т.5.3.6) существует .

Рассмотрим последовательность нечетных частичных сумм.

S_2m+2=S_2m+a_2m+1

Переходя к пределу при n → ¥, получаем

Итак, при любом n (четном и нечетном) при n → ¥ существует , т.е. знакочередующийся ряд сходится.

Геометрическая интерпретация признака Лейбница На рис. 14.2 видно, что последовательность частичных сумм сходится к числу S слева, если n – четное и справа, если n – нечетное, при этом S2m< S< S2m+1. В любом случае S≤ a1. Следствие. Найдем остаток знакочередующегося ряда S-Sn = r n, который, в свою очередь, представляет знакочередующийся ряд (-1)n∙ (an+1–an+2+an+3-…), который сходится (т. 14.1.2) и его сумма , т.е. . Иными словами: абсолютная погрешность, получающаяся при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е. S≈ Sn и погрешность .

Пример. Исследовать сходимость ряда.

Видим, что члены ряда по абсолютной величине убывают, и .

Ряд сходится и его сумма S < 1.

а) Найти сумму этого ряда, ограничившись четырьмя членами, т.е. n =4.

, при этом погрешность

Таким образом, можно сказать, что сумма ряда 0, 759< S < 0, 839.

б) Найти сумму данного ряда с точностью до 0, 025. Задача сводится к отысканию такого значения n (числа членов), когда , т.е. или , откуда , т.к. n – целое, то n = 7. Итак . Следовательно, для того, чтобы обеспечить заданную точность, достаточно ограничиться шестью членами, т.е.

и

Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость (знакопеременные ряды)

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов могут быть и отрицательные и положительные.

Теорема 14.1.13 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда: (14.1.8) сходится, то сходится и данный ряд.

Доказательство. Составим ряды

(14.1.9) и (14.1.10)

и сравним их. Т.к. сходится ряд (14.1.8), то сходится и ряд (14.1.10) (т.14.1.1). Очевидно, 0≤ (a_n+|a_n|)≤ 2|a_n|, значит, по признаку сравнения ряд (14.1.9) сходится, но , т.е. данный ряд представляет собой разность сходящихся рядов, следовательно, он сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Это знакопеременный ряд.

Составим ряд из его абсолютных величин его членов .

Сравним этот ряд с рядом . Это обобщенный гармонический ряд, где . Значит, он сходится.

, следовательно, по признаку сравнения ряд сходится, значит, и данный ряд сходится.

Таким образом, абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. В частности ряд сходится абсолютно.

Обратное утверждение неверно, т.е. не всякий сходящийся ряд является абсолютно сходящимся.

Например, ряд сходится (по признаку Лейбница). В то же время ряд, составленный из его абсолютных величин расходится, будучи гармоническим рядом.

Определение 2. Ряд называется условносходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из его абсолютных величин, расходится. В частности, ряд сходится условно.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются.

Сформулируем некоторые из них, не приводя доказательств.

Теорема 14.1.14. Абсолютно сходящиеся ряды остаются сходящимися при любой перестановке его членов.

Это означает, что они ведут себя, как обычные суммы. Условно сходящийся ряды этим свойством не обладают.

Покажем это на примере следующего ряда

Было показано, что этот ряд сходится условно. Пусть его сумма равна S.

Рассмотрим ряд, переставив некоторым способом члены этого ряда и сгруппировав их.

Пусть сумма нового ряда σ _n. Находим

Под знаком предела стоит частичная сумма исходного сходящегося условно ряда, сумма которого равна S. Таким образом, сумма ряда, полученного после перестановки членов данного ряда уменьшилась и равна .