Оценка точности равноточных измерений

Под равноточными измерениями понимают результаты, полученные при измерении одним и тем же прибором, одним и тем же равноценным методом и т. д. Оценку точности ряда равноточных измерений одной и той же случайной величины выполняют в определенном порядке.

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодезических измерениях одинаковой точности, за окончательный результат принимают средний результат из ряда измерений.

Если измерена одна и та же величина n раз и получены результаты: l ₁, l ₂, …, l _n, то

. (4.2.1.)

Величина x называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

(4.2.2.)

Сложив эти равенства, получим

. (4.2.3.)

Из формул (4.2.1.) и (4.2.3.) следует, что [ v ] =0

Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

(4.2.4.)

где [ v² ] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений.

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины вычисляется по формуле:

. (4.2.5.)

Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т. е.

. (4.2.6.)

Абсолютная ошибка m не всегда дает, полное представление о точности результатов измерений, поэтому пользуются относительной ошибкой

. (4.2.7.)

4.3.Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин.

Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин

; (4.3.1.)

то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой:

; (4.3.2.)

При

. (4.3.3.)

Если функция имеет вид

, (4.3.4.)

то

, (4.3.5.)

т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.

Если ,

то

, (4.3.6.)

т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы измеренных с одинаковой точностью величин в раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.

Если функция имеет вид

, (4.3.7.)

то

, (4.3.8.)

где , , …, – постоянные числа; , , …, – средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.