Предмет и задачи математической статистики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Литература

1. «Общий курс высшей математики для экономистов», под ред. Ермакова В.И., М., ИНФРА-М, 2004 – 655 с.

2. «Теория вероятностей и математическая статистика», Юнита 1, «Введение в теорию вероятностей», М., 2001 – 105 с.

3. Теория вероятностей и математическая статистика», Юнита 3, «Основные понятия математической статистики», М., 2002 – 120 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1998

Предмет и задачи математической статистики

В основе всех научных знаний лежит наблюдение. Для обнаружения общей закономерности, которой подчиняется явление, необходимо многократно наблюдать его в одинаковых условиях. Например, начальник цеха изучает вопрос о проценте брака для изделий, обработанных на некотором станке. Обследуется 100, 1000 изделий. Сколько должно быть проведено наблюдений? Как обработать результаты наблюдений и сделать обоснованные практические выводы? Или такой пример. Исследователя интересует зависимость урожайности определенной культуры, от количества внесенных удобрений и качества обработки почвы. Для выяснения этой зависимости собраны сведения об урожайности, о количестве внесенных удобрений и качестве обработки по достаточно большому числу одинаковых участков. Как, используя эти сведения, оценить зависимость урожайности от количества удобрений и условий обработки почвы? В обоих приведенных примерах, а также во многих других явлениях, можно отметить, что, несмотря на постоянство условий испытания, результат опыта неоднозначен. Детали обрабатываются вроде бы одинаково, однако одни из них удовлетворяют требованиям приемки, другие – нет. Урожай, выращенный на «одинаковых» участках, - различен и так далее. Предвидеть результат каждого конкретного опыта нельзя. Однако, если систематизировать результаты измерений, то можно увидеть в их изменении некоторую закономерность, которая называется статистической устойчивостью. Изучением закономерностей случайных явлений, а мы привели примеры именно случайных явлений, занимается теория вероятностей. Она строит математические модели случайных явлений, основываясь на формально логических рассуждениях. Например, в результате опыта может произойти одно из n событий, ни одно из которых не имеет перед другими никакого преимущества (бросается монета или игральный кубик). Логически рассуждая, делаем вывод, что их вероятности одинаковы. Построенная теоретическая модель позволяет вычислять вероятности наступления сложных случайных событий, представляющих интерес для практики. Например, какова вероятность, что, играя в монетку, сделав 100 попыток, я не проиграю весь капитал? Если говорить коротко, теория вероятностей позволяет находить вероятности «сложных» событий через построенные теоретически вероятности «простых» событий.

Математическая же статистика оперирует результатами наблюдений над случайными явлениями для того, чтобы оценить вероятности «простых» событий, либо с помощью серии опытов осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. В самом общем виде то, чем занимается математическая статистика, можно описать так.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Математическая статистика, опираясь на вероятностные модели, в свою очередь, влияет на развитие теории вероятностей. Математическая статистика и теория вероятностей – две неразрывно связанные науки.

У истоков статистической науки стояли две школы – немецкая описательная и английская школа политических арифметиков. Школа политических арифметиков зародилась в XVII веке. Именно представителями школы политических арифметиков была осознана необходимость учета в статистических исследованиях требований закона больших чисел, поскольку закономерность может проявиться лишь при достаточно большом объеме анализируемой совокупности. В XIX веке бельгийский статистик Кетле положил основание учению о средних величинах. Своим дальнейшим развитием математическая статистика обязана П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, Ф.Гальтону, К.Пирсону и др. Существенный вклад в математическую статистику был сделан в XX веке советскими математиками В.И. Романовским, А.Н. Колмогоровым, Н.В. Смирновым, а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.