Эмпирическая функция распределения

Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения. Напомним, что теоретической функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x), определяющая для каждого значения х вероятность события {X< x }, то есть, вероятность события, заключающегося в том, что данная случайная величина Х принимает значения, не превосходящие х, то есть, F (x)=P(X< x).

Эмпирической функцией распределения случайной величины Х называется функция F_n(x), определяющая для каждого значения х частость, то есть относительную частоту, события {X< x }.

Для нахождения значений эмпирической функции распределения удобно записать её в виде относительной частоты

где n-объём выборки; n _x – число наблюдений Х, меньших х (х€R).

Очевидно, что удовлетворяет тем же условиям, что и теоретическая функция распределения.

При увеличении числа опытов (n) относительная частота события {X< x } приближается к вероятности P(X) этого события (теорема Бернулли). Эмпирическая функция распределения является оценкой вероятности события {X< x }, т.е. оценкой теоретической функции распределения F(x).

Имеет место

Теорема. Пусть F(x)- теоретическая функция распределения случайной величины Х, а - эмпирическая. Тогда для любого ɛ > 0 справедливо равенство

Пример 1.7. Построить эмпирическую функцию распределения по результатам примера 1.4. (о количестве неисправных соединений на АТС).

Решение. В этом примере n=60. Имеем при х=0 (наблюдений меньше нуля нет); при 0≤ х< 1 и при 1≤ x< 2 и так д.алее.

Получим 0 при < 0,

0, 13 при 0≤ х < 1

0, 42 при 1≤ х < 2

0, 65 при 2≤ х < 3

= 0, 82 при 3 ≤ х < 4

0, 92 при 4≤ х < 5

0, 95 при 5 ≤ х < 6

0, 98 при 6 ≤ х < 7

1, 00 при x≥ 7

График эмпирической функции распределения будет иметь вид