Разложение матрицы в произведение простейших

Пусть – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из можно представить в виде произведения

, (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица имеет вид (1.21).

◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную матрицу порядка , а проведение в одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы справа на некоторую элементарную матрицу порядка , получаем матричное равенство

. (1.23)

Матрицы обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения

,

,

и умножая обе части равенства (1.23) в соответствующем порядке на матрицы слева и на матрицы справа, получаем

,

т.е. равенство (1.22). ►

Пример 8. разложить матрицу

в произведение простейших.

◄ Элементарными преобразованиями приводим матрицу к виду ,

.

Проводим эквивалентную цепочку элементарных преобразований, умножая матрицу слева на элементарную матрицу порядка 2, отвечающую элементарному преобразованию , и умножая её справа на элементарные матрицы порядка 3, отвечающие элементарным преобразованиям , , , . В результате получаем, что

.

Определяя обратные элементарные матрицы (см. свойство 4 элементарных преобразований) и умножая на них в соответствующем порядке последнее равенство, получаем, что

. ►

Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

◄ Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

Необходимость. Пусть матрица обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

обратимы как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы и . Из равенства (1.22) получаем, что матрица

и является обратимой как произведение трёх обратимых матриц. Однако, матрица обратима в том и только том случае, когда . Действительно, и поэтому обратима. Если же , то матрица не может быть обратимой, так как последняя строка матрицы в этом случае нулевая и поэтому последняя строка произведения нулевая для любой матрицы , т.е. равенство не может выполняться ни для каких матриц . В результате получаем, что матрица в данном случае имеет вид

. ►

Пример 9. Выяснить, является ли следующая матрица обратимой

◄ Приводим матрицу к виду ,

,

т.е. матрица обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6, можно представить матрицу в виде произведения элементарных матриц, а после этого найти обратную матрицу . Однако этот способ обращения матриц является слишком громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберём более простой алгоритм отыскания обратной матрицы. ►

Вернёмся к предложению 1.2. Это предложение является следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая ненулевая и необратимая матрица из , , является истинным делителем нуля.

◄ Пусть и . В силу предложений 1.5 и 1.6 , где . Введём матрицы

и отметим, что . Так как , то

,

. ►

В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.

Предложение 1.7. Пусть . Следующие утверждения равносильны:

1) ;

2) , где – элементарная матрица порядка ;

3) ;

4) ;

5) .