Формула Байеса

Предположим, что событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H_i, известны вероятности этих гипотез р(H_i) и условные вероятностир(А| H_i). Дополнительно известно, что событие А произошло. Найдем вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H_k. По определению условной вероятности

(1.36)

Полученное соотношение называют формулой Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) априорным вероятностям гипотез р(Н_i) и условным вероятностям р(А| H_i) определить условную вероятность р(H_i | А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Пример 1.63. 30% пациентов, поступающих в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% – второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителя каждой социальной группы, соответственно, равна 0, 02, 0, 03 и 0, 01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение. Пусть Н₁, Н₂, Н₃ – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причем р(Н₁)=0, 3, р(Н₂)=0, 2, р(Н₃)=0, 5. По условию событие А, обнаружение туберкулеза у больного, произошло, причем условные вероятности по данным условия равны Р(А| H₁)=0, 02, Р(А| H₂)=0, 03 и Р(А| H₃)=0, 01. Апостериорную вероятность Р(H₃ | А) вычислим по формуле Байеса:

Домашнее задание: ДР-10 (№1.29, Письменный, стр. 45)

ДР-11, 12 (№1.30, Письменный, стр. 46, №2, стр. 46, 256)