Повторение испытаний

1.12.1. Формула Бернулли (Якоб Бернулли, 1654-1705)

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых возникает необходимость определения параметров случайных событий при многократном повторении одного и того же опыта или аналогичных опытов при неизменном комплексе условий. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, общее число попаданий в серии выстрелов по одной и той же цели. В подобных задачах требуется определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи весьма просто решаются в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Например, бросание монеты – независимые опыты. Вынимание нескольких карт из колоды представляют независимые опыты, если карты возвращаются в колоду.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. Пусть вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q =1‑ p. Если каждое отдельное испытание рассматривается как простое событие, то событие, состоящее из совокупности таких простых событий, называется сложным событием. Например, вероятность того, что в четырех испытаниях событие А появится 3 раза, можно представить в виде следующих сложных событий: ААА , АА А, А АА, ААА. Такие случайные события описываются схемой Бернулли.

Схемой Бернулли называется последовательность испытаний, удовлетворяющая следующим условиям:

1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление события А, называемый «успехом», либо не появление события А («неуспех»);

2) испытания являются независимыми, то есть, исход каждого испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний;

3) вероятность появления события А во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) = р, вероятность противоположного события – не появления события А также постоянна и равна Р() = 1 – р =q

Поставим перед собой задачу: определить вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно k раз и, следовательно, не появится n-k раз. Искомую вероятность обозначают Р_n(k). По теореме умножения вероятностей независимых событий (формула (1.28)) эта вероятность равна Р_n(k) = p^k ∙ q^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (аксиома 4) искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления события А ровно k раз в n событиях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Р_n(k) = p^k ∙ q^n-k

или (1.37)

Полученную формулу называют формулой Бернулли или биномиальной формулой Бернулли.

Пример 1.64. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении суток не превысит установленной нормы, равна р=0, 75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна р=0, 75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1-p=1-0, 75=0, 25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Пример 1.65. Монету (симметричную) подбрасывают n=10 раз. Определить вероятность выпадения «герба» ровно 5 раз.

Решение. Вероятность выпадения «герба» в каждом испытании постоянна и равна р=0, 5. Вероятность противоположного – выпадение цифры- равна q = 1 – р = 0, 5. Исход каждого испытания не зависит от исходов других испытаний, то есть, испытания являются независимыми относительно события А. Поэтому искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Домашнее задание: ДР-13 (№1.31, Письменный, стр. 49)