Момент импульса тела.

Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина , называемая моментом импульса.

Сначала определим момент импульса материальной точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент импульса материальной точки вводится аналогично моменту силы. Момент импульса относительно точки О называется векторная величина, определяемая выражением: ,

где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в ту точку пространства, в которой находится материальная точка, . Вводя плечо l = r·sina, модуль вектора можно записать в виде (рис. 4.11). – это векторная величина (псевдовектор). Вектор направлен по оси вращения в ту сторону, куда перемещается острие буравчика при вращении рукоятки буравчика по направлению вращения тела. Если рассматривать как векторное произведение и , то направление вектора будет перпендикулярно плоскости, где лежат вектора и . L – численно равен площади параллелограмма, построенного на r и m v (рис. 4.12).

Выясним, чем определяется изменением момента импульса со временем. Продифференцируем выражение по времени “t”. Получим

;

Первое слагаемое равно «0», т.к. представляет векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле и следовательно совпадает с вектором по направлению. Во втором слагаемом вектор – действующая на тело сила (по II-закону Ньютона). Следовательно,

, (4.1)

где – момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки «О», относительно которой берется момент импульса .

Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки «О» равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки «О» будет оставаться постоянным.

Если сравнивать выражение с выражением II закона Ньютона , то видно, что для вращательного движения используется вместо силы момент силы , а вместо импульса момент импульса .

Скалярное выражение для момента силы можно получить более просто. Нормальная составляющая силы не влияет на величину скорости и уравновешивается силой реакции связи рис. 4.13. Тангенциальная составляющая силы F_t изменяет v, тогда по II закону Ньютона

; ; .

Следовательно, .

Умножая обе части уравнения на r, получим

Вводя величину , получаем, что

. (4.2)

Формула для момента силы справедлива не только для материальной точки, но и для любого тела, если его рассматривать как совокупность материальных точек.

Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i -ую материальную точку, обозначим , а результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку . Тогда для i -ой материальной точки можно записать

,

где i =1, 2, 3, …, N

Сложим эти уравнения

.

Величина называется моментом импульса системы материальных точек.

Первая сумма – сумма моментов внутренних сил равна «0».

ПОЯСНЕНИЕ: Рассмотрим две любые элементарные массы Dm₁ и Dm₂. Силы, с которыми они взаимодействуют, лежат на одной прямой (рис. 4.14). Их моменты относительно произвольной точки “O” равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для суммарного момента этих сил, взятого относительно любой оси.

Вторая сумма – суммарный момент внешних сил равен , т.е. .

Тогда (здесь и относятся к системе материальных точек).

Для замкнутой системы материальных точек , вследствие чего суммарный момент импульса не зависит от времени.