Нелинейных уравнений

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

(с алгоритмами и программами в среде C++Builder)

Учебно-методическое пособие

Киров

УДК 004.42(07)

Рекомендовано к изданию методическим советом

факультета автоматики и вычислительной техники

ФГБОУ ВПО «ВятГУ»

Допущено редакционно-издательской комиссией методического совета ФГБОУ ВПО«ВятГУ» в качестве учебно-методического пособия по дисциплине «Численные методы» для студентов направления подготовки 220400.62 «Управление в технических системах», профиль «Управление и информатика в технических системах» всех форм обучения

Рецензент:

доктор технических наук, профессор кафедры ЭВМ Д. А. Страбыкин

Чуркин В.В.

Численные методы: учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 220400.62 «Управление в технических системах», профиль «Управление и информатика в технических системах» всех форм обучения / В. В. Чуркин. – Киров: ПРИП ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2013. – 183 с.

В издании излагаются численные методы согласно программе дисциплины «Численные методы». В учебно-методическом пособии приведены основные математические сведения, алгоритмы и примеры использования методов в виде лабораторных работ в среде Mathcad и в интегрированной среде разработки приложений C++Builder 6.

УДК 004.42(07)

© ПРИП ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2013

ISBN ______________________

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..4

Численные методы решения нелинейных уравнений……………………….6

Лабораторная работа 1. Исследование методов решений

нелинейных уравнений…………………………………………………21

Контрольные вопросы ………………………………………………….31

Численные методы интерполяции и экстраполяции……………………….32

Лабораторная работа 2. Методы интерполяции и

экстраполяции………………………………………………………...…39

Контрольные вопросы ………………………………………………….46

Алгебра, формирование, разложение и обращение.матриц.……….…......47

Лабораторная работа 3. Алгебра и формирование матриц…….…..63

Контрольные вопросы ………………………………………………….69

Численные методы решения систем линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ)……………………………………………….……….….70

Лабораторная работа 4. Исследование решения систем

линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.…...86

Контрольные вопросы …………………………………………….…..101

Лабораторная работа 5. Исследование методов решений

СЛАУ и операций с матрицами……………………….……….….…102

Контрольные вопросы ……………………………………………..….104

Численные методы аппроксимации по критерию

наименьших квадратов………………………………………………….…105

Лабораторная работа 6. Аппроксимация функции

по критерию наименьших квадратов…………………………..….…109

Контрольные вопросы …………………………………………….…..117

Численные методы вычисления определенных

интегралов…………………………………………………………………...118

Лабораторная работа 7. Исследование методов вычисления определенных интегралов…………………………………………….133

Контрольные вопросы ………………………………………………...148

Численные методы интегрирования обыкновенных

дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ……………………149

Лабораторная работа 8. Исследование методов

интегрирования ОДУ и систем ОДУ…………………………………169

Контрольные вопросы ………………………………………………...182

Библиографический список………………………………………………...183

ВВЕДЕНИЕ

При составлении данного учебно-методического пособия была поставлена задача – при изучении дисциплины обеспечить условия приобретения студентами практических навыков использования численных методов в объеме, предусмотренном программой курса «Численные методы».

Математические описания методов, основные положения которых сопровождаются доказательствами, даны как подготовка к разработке алгоритмов, реализующих методы. Ряд основных методов реализован в лабораторных работах, выполняемых в среде MathCad и в среде C++Builder, причем результаты, полученные в MathCad ’е, используются для тестирования и отладки кодов в среде C++Builder.

В разделе «Численные методы решения нелинейных уравнений» приведена иллюстрация и алгоритм отделения корней нелинейного уравнения, формулы, иллюстрации и алгоритмы методов уточнения корней – деления пополам, хорд, касательных, секущих и итераций. Представлены также алгоритмы комбинированных методов уточнения корней. В лабораторной работе этого раздела выполнено в MathCad ’е построение графика функции и найден корень уравнения, в C++Builder исследованы методы деления пополам и секущих.

Раздел «Численные методы интерполяции и экстраполяции» содержит формулы и алгоритмы алгебраической интерполяции – прямой и обратной по Лагранжу, формулы и алгоритм тригонометрической интерполяции, описание и использование интерполяций – кусочно-линейной и сплайновой в MathCad ’е. В лабораторной работе применены кусочно-линейная и сплайновая интерполяции в MathCad ’е и тригонометрическая интерполяция в среде C++Builder.

В третьем разделе пособия «Алгебра, формирование, разложение и обращение матриц» содержатся, кроме определений, перечня функций и операций с векторами и матрицами, в том числе и в MathCad ’е, алгоритмы формирования различных видов матриц, формулы и алгоритмы методов разложения матриц и описания методов обращения матриц, реализуемых машинными алгоритмами. В лабораторной работе, выполняемой в среде C++Builder, формируются разнотипные числовые матрицы и вычисляется матрица-произведение.

Раздел «Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)» содержит описания прямых и итерационных методов решения СЛАУ, алгоритм прямого метода Гаусса по схеме с частичным выбором ведущего элемента по столбцу и алгоритм итерационного метода Гаусса-Зейделя. На конкретном примере даны рекомендации к вычислению матричных выражений. Показано, как решать СЛАУ в MathCad ’е. В лабораторной работе показана методика исследования решения СЛАУ прямым методом Гаусса.

«Численные методы аппроксимации по критерию наименьших квадратов» содержатся в пятом разделе пособия. Здесь рассмотрены: аппроксимация алгебраическим полиномом произвольной степени с выводом формул для вычисления параметров полинома и разработкой алгоритма, в MathCad ’е – аппроксимации - линейная и линейная общего вида. Все эти методы аппроксимации использованы в лабораторной работе раздела.

В разделе «Численные методы вычисления определенных интегралов» рассмотрены методы Ньютона-Котеса и Гаусса в общем случае и в частных случаях – формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Ньютона. Приведены две группы алгоритмов. В первой группе содержатся алгоритмы для получения зависимостей фактической ошибки вычисления определенного интеграла от шага интегрирования, во второй – алгоритмы для получения зависимостей затрат машинного времени и фактической ошибки вычисления интеграла от задаваемой ошибки. Выполняемое в лабораторной работе исследование позволяет сравнивать по эффективности методы Ньютона-Котеса и Гаусса равных порядков.

Пособие завершается разделом «Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ». Здесь описана методика сравнения методов интегрирования ОДУ, приведены иллюстрации методов Эйлера – базового и модификаций, простого метода прогноза и коррекции. Приведены также формулы для практических одношаговых и многошаговых методов, даны примеры разработки алгоритмов этих методов. Приведены примеры интегрирования ОДУ в MathCad ’е. В лабораторной работе исследованы одношаговый метод РК3 и метод прогноза и коррекции – метод Адамса с разгоном методом РК4.

Пособие содержит восемь заданий по 30 вариантов; два задания находятся в разделе «Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)».

Каждый раздел завершается перечнем контрольных вопросов, необходимых для проверки и контроля знаний студентов.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ