![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Закон збереження маси
У цьому параграфі розглядається вивід рівняння нерозривності для різних випадків руху однорідної і неоднорідної рідини, який є математичним виразом закону збереження (постійності) маси. У загальному випадку руху швидкість
При цьому Нестислива рідина. Розглядається одномірний рух рідини у трубі (рисунок 2.3.) вздовж осі Рисунок 2.3 – Схема одномірного руху рідини у трубі.
Рахуючи, що рідина нестислива, приймаємо, що у ній неможливе утворення пустот, тобто дотримується умова нерозривності руху. Виходячи з цього, кількість рідини, яка проходить за одиницю часу через переріз 1 – 1 (
Позначимо через
Отже
тобто
Формула (2.14) виражає закон збереження маси при одномірному русі рідини. Виходячи з формули (2.13) чи (2.14) маємо При виводі рівняння (2.14) передбачається, що площа перерізу труби постійна. У іншому випадку, позначаючи площу перерізу 1 – 1 через
з формули (2.12) одержимо
З формули (2.16) видно, що при усталеній течії нестисливої рідини середні швидкості у поперечних перерізах обернено пропорційні до площ цих перерізів. Так як при усталеній течії газу масова витрата по довжині труби має одне і те саме значення, то, виходячи з (2.12) і (2.15), для усталеної течії газу одержуємо
або
Розглянемо випадок плоскої течії нестисливої рідини. Для цього візьмемо паралелепіпед з сторонами Кількість рідини, яка перетікає через сторони 1, 2, 3 і 4, відповідно буде
де Рисунок 2.4 – Схема плоскої течії рідини.
Відзначимо, що на рисунку 2.4 не обмежуємо напрям течії. Рідина може надходити через грані 1 і 4 і витікати через грані 2 і 3 або надходити через грані 1 і 2 і витікати через грані 3 і 4. Також можливі інші напрями течії. Але кількість рідини, що надійшла, повинна бути рівною кількості рідини, яка витекла. Це пояснюється тим, що у розглянутому прикладі рідина нестислива, тобто у об'ємі, який розглядається, маса (густина) рідини не змінюється. Іншими словами,
Закон збереження маси (2.18) показує, що кількість рідини, яка надійшла у даний об'єм, рівна кількості рідини, яка витекла з даного об'єму. Вирази у дужках у формулі (2.18) завжди мають різні знаки, причому тут приводяться алгебраїчні значення Зміна кількості рідини у прямокутнику, який розглядається, буде
у напрямі осі
у напрямі осі У всіх випадках течії нестисливої рідини
Формула (2.21) одержана з врахуванням рівності кількості рідини, яка надходить у розглянутий об'єм, до кількості рідини, яка витікає з цього об'єму. Підставивши значення
Розділивши останній вираз на
або
Формула (2.22) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при плоскій течії нестисливої рідини. У формулі (2.22) Нарешті, розглянемо течію нестисливої рідини у просторі. Для цього візьмемо паралелепіпед (рисунок 2.5), грані якого паралельні координатним площинам і мають площі відповідно
Кількість рідини, яка протікає через грані взятого паралелепіпеда, визначається за формулами
де
Рисунок 2.5 – Течія нестисливої рідини у просторі.
Зміна кількості рідини у розглядуваному паралелепіпеді буде:
у напрямі
у напрямі
Так як рідина нестислива, то
У залежності від напряму руху дві з цих величин будуть мати однаковий знак, а третя величина – протилежний. У іншому випадку рідина з усіх сторін буде надходити у об'єм, який розглядається, що фізично неможливо з-за нестисливості рідини. Підставивши значення
або
Формула (2.24) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при просторовій течії нестисливої рідини. При одержанні рівняння (2.24) припускається, що рідина нестислива, тобто маса (густина) рідини у об'ємі, який розглядається, не змінюється. Якщо у (2.24) значення Стислива рідина. Якщо рідина стислива, тобто густина (і, відповідно, маса) рідини може змінюватись у часі, то зміна кількості рідини у розглянутому об¢ ємі призведе до зміни густини (маси) рідини у тому ж об¢ ємі. Так, наприклад, для стисливої рідини (рисунок 2.3) Отже, зростання масової швидкості Проілюструємо сказане вище на прикладах. Позначимо через а) якщо
тобто на 2%; б) якщо
тобто на 2%. Тепер перейдемо до одержання математичного виразу закону сталості маси, тобто до виводу рівняння нерозривності стисливої рідини. Для одномірної течії рідини (рисунок 2.3) зміна кількості рідини
де Зміна ж маси у аналізованому об’ємі
Як було зазначено вище,
У результаті ділення останнього виразу на
або ж
Рівняння (2.27) називається рівнянням нерозривності стисливої рідини при лінійному плині. Права частина, тобто Тому При плоскому плині рідини ми виходили з рисунка 2.4. Зміна кількості рідини за проміжок часу
а зміну маси у аналізованому об’ємі - за формулою
При виводі формул (2.28) і (2.29) розглядаємо паралелепіпед із шириною, рівною одиниці, довжиною
або
Це рівняння називається рівнянням нерозривності плоского плину стисливої рідини, і справедливо воно для будь-якої точки Нарешті, для одержання рівняння нерозривності при плині рідини у просторі ми виходили з рисунка 2.5. Зміну кількості рідини у аналізованому об’ємі
Зміна ж густини у аналізованому об’ємі
Прирівнявши праві частини (2.31) і (2.32), попередньо розділивши їх на
або
Це рівняння являє собою рівняння нерозривності при просторовій течії стисливої рідини. Права частина рівняння Рівняння (2.33) справедливо для будь-якої точки простору При одержанні рівняння нерозривності (2.33) підраховувалася зміна маси у об’ємі паралелепіпеда Тому рівняння нерозривності у цьому випадку буде
Аналогічно для плоского й одномірного плину з рівнянь (2.30) і (2.27) одержимо такі рівняння нерозривності плоскої й одномірної фільтрації рідини:
У випадку суміші рідин і газів, тобто перемінності складу уздовж об’єму, рівняння нерозривності виводиться для двокомпонентної системи. Склад суміші визначається масовою концентрацією c - відношенням маси даного компонента до загального маси рідини у заданому елементарному об’ємі. Зміна відбувається шляхом механічного перемішування - склад об’єму, що рухається, не змінюється, але в кожній заданій нерухомій точці, що знаходиться в цьому місці рідини, c згодом буде змінюватися. При дифузії під Закон збереження енергії. Покажемо на прикладах, як можна застосовувати закон збереження енергії для опису деяких фізичних процесів. У основному будуть розглядатися механічний і тепловий процеси, тому сформулюємо для них закон збереження енергії. Для механічних процесів сума кінетичної і потенційної енергії постійна. При теплових процесах закон збереження енергії, або перший закон термодинаміки, записується так: нескінченно мала зміна внутрішньої енергії складається з двох частин - із кількості тепла, отриманого тілом, і виконаної тілом роботи. Робота при надходженні тепла залежить від початкового і кінцевого стану тіла і від шляху, по якому змінюється стан тіла. Тому не можна розглядати тепловий ефект процесу як різницю цих кількостей у кінцевому і початковому станах. З поглинанням тепла в кількості Відношення Застосуємо перший закон термодинаміки для дослідження процесу поширення тепла в тілі. Розглядаються два перетини 2-2 і 2-2 (рисунок 2.7). Тіло має якусь визначену початкову температуру. До одного кінця тіла підводиться джерело тепла або холоду. Відповідно до цього в тілі відбувається нагрівання або охолодження. Температура в якійсь точці тіла буде залежати від відстані точки до місця підводу тепла і часу На поточний розподіл температури у тілі впливає початковий розподіл температури, а також умови у кінцевих перетинах тіл, зокрема від температури на обох кінцях тіла.
У приведеному прикладі через перетин 2-2 у одиницю часу підводиться кількість тепла, рівна
відповідно до першого закону термодинаміки витрачається на зміну температури у відсіку між перерізами 1-1 і 2-2. Якщо
а у другому – При зміні кількості підведеного й відведеного тепла на розмір
де Так як Підставивши у (2.68) значення
Таким чином, в одному рівнянні одержуємо два невідомих Позначимо через За принципом д'Аламбера, сума цих сил повинна дорівнювати нулю. Якщо при цьому врахувати, що перша й остання з цих сил діють у напрямку, оберненому дії інших двох сил, то
Зневажаючи розміром
|