![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Наступні наближення одержуються за схемою
…………,
Якщо послідовність
тобто
Отже, Становить великий інтерес виявлення умов, при яких ітераційний процес сходиться. Є наступна теорема. Т е о р е м а. Нехай інтервал Якщо при цьому виконується умова Тут Згідно з теоремою, для сходимості ітераційного процесу достатньо, щоб нерівнісь
Формули прямокутників і трапецій. Формули для наближеного визначення означених інтегралів, які часто називаються квадратурними формулами, вживаються дуже часто. Справа в тому, що для великого числа елементарних функцій первісні вже не виражаються через елементарні функції, в результаті чого не можна обчислити означений інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца. Зустрічаються такі випадки, коли наближене інтегрування проводять для інтегралів, що можуть бути знайдені в кінцевому виді, але в цьому випадку їх вираз є досить складним. Особливо важливі формули наближеного інтегрування при розв'язуванні задач, які містять функції, задані таблично. Найбільш простими формулами для чисельного інтегрування є формули прямокутників і трапецій. Вивід їх базується на використанні геометричного змісту означеного інтеграла, що є, як відомо, площею криволінійної трапеції. Формула прямокутників, власне, є не що інше, як інтегральна сума, складена з врахуванням деяких додаткових припущень. Нехай потрібно обчислити інтеграл
яка і є формулою прямокутників. Тут, як і в подальшому, через Аналогічну формулу прямокутників одержимо і в тому випадку, коли для інтегральної суми брати значення функції не в лівих, а в правих кінцях ділянок. Тоді формула має вид
Для функції, монотонної на відрізку інтегрування, будь-яка інтегральна сума, а отже, і означений інтеграл знаходяться між наближеними значеннями, вказаними у правих частинах формул (3.8) і (3.9). Геометричну ілюстрацію цього факту можна бачити на рисунку 3.2. Це наводить на думку приймати в якості наближеного значення інтеграла математичне очікування наближень, одержаних за формулами (3.8) і (3.9). Відзначимо, що нема сенсу обчислювати попередньо ці значення, так як можна відразу скористатись готовою формулою. Дійсно, взявши середнє арифметичне правих частин формул (3.8.) і (3.9.) одержимо
Це і є формула трапецій. Рисунок 3.2 – Геометричний зміст методу прямокутників. Формулу трапецій (3.18) можна легко одержати безпосередньо, виходячи з її геометричного змісту (рисунок 3.3.). Розіб'ємо відрізок інтегрування на
Сумування виразу (3.11) по всім
Формула Сімпсона. Більш точною, ніж розглянуті попередні, є формула Сімпсона. Для досягнення тієї ж точності в ній можна брати менше число ділянок розбиття Формулу Сімпсона можна одержати за допомогою того ж прийому, що й попередні. Розіб'ємо ділянку
Проведемо через три точки кривої з координатами
причому коефіцієнти А, В, С залишаються поки що невідомими. Замінивши площу заданої криволінійної трапеції на ділянці
Виносячи за дужки спільний множник
Невідомі коефіцієнти А, В, С в рівнянні (3.20) і формулі (3.22) знаходяться з умови, що при значеннях
Помноживши другу рівність (3.23) на чотири і додавши після цього всі три рівності (3.23), знаходимо
що співпадає з квадратними дужками в правій частині рівності (3.13). Підставивши (3.15) в праву частину рівності (3.13) і відзначивши, що
Ясно, що для кожної наступної пари ділянок одержимо таку ж формулу
Сумуючи рівності виду (3.16) і (3.17) по всіх ділянках, одержимо формулу
Формула (3.27) і є потрібна нам формула Сімпсона. Враховуючи геометричний зміст формули, її ще називають також формулою парабол. В ній всі ординати з непарними номерами множаться на чотири, а всі ординати з парними номерами (крім крайніх) – на два. Крайні ординати входять в формулу з коефіцієнтами рівними одиниці. Метод Ейлера і його уточнення. Лише невелике число типів рівнянь першого порядку допускає інтегрування в квадратурах, тобто зведення до звичайної операції інтегрування. Ще рідше вдається одержати розв'язок в елементарних функціях. Тим більше значення мають численні методи розв'язку диференційних рівнянь, які дозволяють вручну або за допомогою обчислювальної машини одержати таблицю значень функції в потрібних точках. Розглянемо диференційне рівняння першого порядку, розв'язане відносно похідної,
Загальним розв'язком такого рівняння є родина функцій
Знаходження розв'язку, який задовольняє такій умові, називають задачею Коші. В подальшому, говорячи про розв'язок диференційного рівняння першого порядку, завжди будемо мати на увазі рівняння виду (3.19) з початковою умовою (3.20). Отже, задача численного розв'язку диференційного рівняння першого порядку ставиться наступним чином: необхідно побудувати таблицю значень функції Найпростішим з численних методів інтегрування диференційних рівнянь є метод Ейлера. Звичайно він застосовується лише для наближених розрахунків, але ідеї покладені в його основує вихідними для широкого класу чисельних методів. Метод Ейлера заснований на заміні шуканої функції многочленом першого степеня, тобто на лінійній інтерполяції. Проте, вірніше говорити про лінійну екстраполяцію, так як мова йде про знаходження значень функції в сусідніх вузлах, а не між вузлами. Виберемо крок
де
Також точно для
Продовжуючи таким чином будувати подальші значення функції, впевнимось, що метод Ейлера можна подати в вигляді послідовного застосування формул
Геометричний зміст формули Ейлера зрозумілий з рисунку 3.5. Інтегральна крива заміняється тут ламаною, ланки якої мають одну постійну проекцію Формули (3.21) можна одержати і з інших міркувань. З (3.19) випливає
Вважаючи під інтегралом функцію Уточнений метод Ейлера при практично тому ж об'ємі обчислювальної роботи дає похибку порядку
Повернемося до формули (3.22) при одержанні звідси формули (3.21) за методом Ейлера ми вважали підінтегральну функцію
Центром інтервалу
Ця формула і виражає уточнений метод Ейлера. Проте вона може застосовуватись лише при
Після цього подальші обчислення йдуть вже за формулою (3.24) без змін. Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта дуже часто використовується для знаходження значень функцій в декількох початкових точках, завдяки тій особливості, що він зовсім не використовує попередньої інформації. Кожний крок в методі Рунге – Кутта робиться неначе знову, і для обчислення значень в точці Розрахунком за таку малу інформативність метода є його трудомісткість. Для одержання наступного значення функції потрібно декілька разів обчислювати значення похідної Існує декілька методів Рунге – Кутта різних порядків. Найбільш поширеним є метод четвертого порядку. Дано диференційне рівняння першого порядку
після цього приріст функції знаходиться за формулою
а
Геометричний зміст цього методу легко прослідкувати за послідовністю формул (3.25), з яких видно, що кожний крок розрахунку являє собою, по суті, крок за методом Ейлера.
|