![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Чисельний розв'язок алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, чисельне інтегрування
Як відомо, далеко не будь-яке рівняння може бути розв'язане точно. В першу чергу це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь, тобто рівнянь, в яких невідома Проте точний розв'язок рівняння не завжди необхідний. Задачу пошуку коренів рівняння можна рахувати практично розв'язаною, якщо ми зможемо визначити корені з відповідним степенем точності. Більшість наближених методів розв'язку рівнянь є, по суті, способами уточнення коренів, тобто для їх застосування необхідно знати приблизне значення кореня. Для цієї мети служать графічні методи. Нехай рівняння, яке розглядається має вид
Побудуємо у декартовій системі координат схематичний графік функції Після того, як схематичний графік побудовано і приблизно визначені ділянки осі абсцис, в яких будуть лежати корені функції, проводимо уточнення значень коренів. Для цього переходимо до аналітичних способів уточнення значень коренів. Відразу зауважимо: усі ці способи передбачають, що нам відомий інтервал Нехай інтервал Звуження інтервалу ізоляції можна проводити найпростішим чином. Вибираємо будь-яку точку В якості нового інтервалу ізоляції приймаємо ту з двох половин інтервалу Таким шляхом можна як завгодно звузити ділянку, на якій знаходиться корінь, тобто одержати наближене значення кореня з будь-яким степенем точності. При цьому ми одержуємо оцінку точності наближеного розв'язку (корінь знаходиться між кінцями чергової дільниці). Але, незважаючи на принципову простоту, таке послідовне звуження дільниці на практиці не завжди проводиться, бо часто вимагає великої кількості обчислень і застосування ЕОМ. При застосуванні інших способів уточнення кореня, будемо вимагати, щоб на відрізку 1. Функція 2. Значення 3. Перша і друга похідна f'(x) і f''(x) зберігають певний знак і не перетворюються в нуль на всій дільниці. Зауважимо, що обмежуємось лише тим випадком, коли корені рівняння додатні. Випадок від'ємних коренів може бути зведений до розгляду додатніх, для чого в рівнянні досить замінити Спосіб хорд і проведення параболи. Ідея способу хорд полягає в тому, що можна, з певним наближенням, припустити, що функція на досить малій дільниці Для кращого пояснення способу звернемось до рисунку 3.1. Побудуємо графік функції
Рисунок. 3.1- Розв'язок алгебраїчних рівнянь методом хорд
Знайдемо аналітичний вираз для наближеного значення кореня. Як видно з рисунка 3.1. кутовий коефіцієнт хорди АВ дорівнює
Таким чином рівняння хорди АВ можна записати у вигляді
Після нескладних перетворень, припустивши, що
звідки
і рівняння хорди має вид
Тоді формула наближеного обчислення значення кореня, одержаного по способу хорд, має вид
або
Одержане значення Більш точно корінь рівняння Спосіб дотичних. Комбінований спосіб. Поряд зі способами хорд і проведення параболи часто використовується інший спосіб, заснований на заміні графіка функції ділянкою прямої лінії. Звернемось знову до рівняння Візьмемо деяку точку
В якості наближеного кореня рівняння
Залишається вирішити питання про вибір точки Як і в способі хорд, значення Спосіб хорд і спосіб дотичних дають наближення кореня з різних сторін (менше і більше істинного кореня). Тому звичайно буває вигідно застосовувати обидва способи одночасно, завдяки чому уточнення кореня може бути одержане швидше. Спосіб ітерацій. У ряді випадків досить зручним прийомом розв'язку рівнянь є метод ітерацій (повторень). Для застосування такого методу вихідне рівняння повинно бути записане у формі
Нехай будь-яким чином виділений інтервал
|