Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод координат. Уравнения линий и поверхностей
Декартовая прямоугольная система координат (СК) на плоскости Охуz задается с помощью точки О (начала координат) и парой выходящих из нее ортонормированных векторов , , образующих декартов базис. Каждой точке М плоскости Оху соответствует пара ее координат (хM уM) (см.рис.1.1). Декартовая СК в пространстве Охуz задается с помощью точки О начала координат и ортонормированного базиса (, , ). Положение точки М определяется координатами (хM, уM, zM), являющимися ее проекциями на координатные оси Оx, Оy, Oz (см. рис. 1.2). Заметим, что длина векторов , , равна единице масштаба. Вторая СК на плоскости – полярная, она задается точкой О (полюсом) и полярной осью – выходящим из нее лучом ОЕ с выбранной единицей масштаба. Положение точки М задается парой координат – полярным радиусом ρ М=ОМ и полярным углом φ М (см.рис.1.3). Формулы перехода из полярной СК в декар-товую и обратно следуют из соотношений меж-ду сторонами и углом в треугольнике ОМxМ: хМ = ρ М ∙ cosφ; уM = ρ М ∙ sinφ; ρ M = Угол φ определяется двумя условиями: sin φ = уM /ρ M; cos φ = хМ /ρ M; Цилиндрическая СК объединяет эти две СК: в трехмерном пространстве на плоскости Оху вводятся полярные координаты (ρ, φ), а по оси Оz откладывается проекция луча ОМ на эту ось. Тогда положение точки М в пространстве определяется тремя координатами: М=М(ρ М, φ М, zM) В сферической СК точка М задается координатами М(rM, φ М, θ M), где rM = |OM|, а в качестве третьей координаты берется угол θ M между радиус-вектором и осью Оz а Успех решения многих прикладных задач физики (в т.ч. механики), химии, техники в значительной степени определяется выбором подходящей для данной задачи системы координат Способы задания линий и поверхностей В декартовой СК на плоскости существует три основных способа задания линий. Первый из них – «явный», с помощью функции y = y(x), x [a, b]; Второй, более общий способ – «неявный», с помощью уравнения F(x, y)=0, если этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, которые принадлежат линии L Третий способ – «параметрический», когда координаты (x, y) точек линии L задаются уравнениями х=х(t), y=y(t), t [t1, t2]. Параметр t часто интерпретируется как время. В полярной СК явное уравнение линии имеет вид: ρ =ρ (φ), φ [ , ], неявное – F (ρ, φ)=0. Пример 1.1 Окружность радиуса R с центром в точке О может быть задана в декартовой СК: 1) явно: с помощью пары функций y = ± , x [-R, R]; 2) неявно: уравнением x2+y2=R2; 3) параметрически: x=Rcosφ y=Rsinφ, φ [0, 2 ] В полярной СК уравнение этой же окружности ρ =R. Уравнение поверхности в пространстве с введенной в нем декартовой СК может быть задано неявно с помощью уравнения F(x, y, z)=0, если ему удовлетворяют те и только те точки М(x, y, z), которые лежат на поверхности . В такой форме принято представлять, например, уравнения поверхностей второго порядка (см. п. 1.7). Аналогично задаются поверхности в цилиндрической и сферической СК. Линия L в пространстве может быть задана как линия пересечения двух поверхностей: L = (рис. 1.7). Аналитически этому соответствует решение системы уравнений F1(x, y, z)=0, F2(x, y, z)=0, где F1(x, y, z)=0 и F2(x, y, z)=0 – уравнения поверхностей и в декартовой СК. Второй способ – параметрическое задание линии системой трех уравнений: x=x(t) y=y(t) t [t1, t2] z=z(t) В разных СК одна и та же линия или поверхность задается разными формулами. Подтверждением этому служит пример 1.1. С другой стороны, одна и та же формула порождает разные геометрические формы и разные, по сути, виды движения в зависимости от используемой СК. Это иллюстрируют примеры 1.2, 1.3. Три основных типа движения, рассматриваемых в механике - поступательное, колебательное и вращательное. Пример 1.2. В декартовой СК с координатами (t, y) прямолинейное движение задается линейным уравнением y=a+bt или, в частном случае, уравнением y=t. Но движения, описываемые одной и той же формулой линейной зависимости, в декартовой, полярной и цилиндрической СК совершенно различны. В декартовой СК уравнение y=at+b описывает прямолинейное движение. В полярной СК при t=φ, a> 0 уравнение r=at+b описывает движение по раскручивающийся спирали. В цилиндрической СК получаем снова спираль (рис. 1.8). В частном случае, когда a=0, b=1, получаем прямую y=1 в декартовой СК и окружность r=1 в полярной СК. Пример 1.3. В декартовой СК колебательное движение задается уравнением y=sin t или более общим уравнением A× cos (at+b), где t - время, А – амплитуда, а – частота колебаний, b – фаза. Движение, описываемое формулой y=sint в декартовой СК – это колебательное движение с периодом 2 . В полярной СК формула r=sint (при t=φ) задает движение по окружности. Взяв формулу y=1-sint, в декартовой СК снова получим колебательное движение, в полярной - кардиоиду (рис 1.9). 1.2. Геометрические образы линейных уравнений в пространстве Простейшие геометрические объекты – прямые и плоскости. Покажем, что им соответствует простейшие уравнения – линейные. Теорема 1. Всякой плоскости в пространстве с заданной прямоугольной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно х, y, z, и обратно: всякому линейному уравнению соответствует некоторая плоскость Доказательство. Любая плоскость π задается вектором нормали к ней = (A, B, C) и какой-либо точкой Mо(x0, y0, z0) π. Любая другая точка M(x, y, z) π тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны. Условием ортогональности векторов является (см. табл. П.1) равенство нулю их скалярного произведения (рис. 1.10) M π ↔ A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (1.1) Упрощая, получим общееуравнение плоскости в виде Ax +By + Cz + D = 0 (1.2) Обратно, пусть дано линейное уравнение (1.2). Рассмотрим какую-либо точку M(x0, x0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1.2), т.е. A x0 + B x0+ C z0 + D=0 (1.3) Вычитая уравнение (1.3) из (1.2), получим: A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0 По доказанному выше, это уравнение задает плоскость, проходящую через точку M0 и имеющую нормальный вектор =(A, B, C) Аналогично доказывается Теорема 2. Всякой прямой на плоскости с заданной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно x, y и, наоборот, всякому линейному уравнению соответствует некоторая прямая. Задание 1. Какой геометрический образ соответствует уравнению x+y-1=0 а) на плоскости; б) в пространстве? Сделайте чертеж. Пример 1.4 (уравнение плоскости в отрезках). Пусть известны отрезки a, b, c, отсекаемые плоскостью на координатных осях (рис. 1.11). Подставим координаты точки М1 (а, 0, 0) в уравнение (1.2): Aa + D =0, A=-D/a. Аналогично, B= -D/b, C= -D/c. Сокращая на D, получаем уравнение плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1 (1.4) Аналогично получается уравнение прямой на плоскости (в отрезках) (рис. 1.12): x/a + y/b=1. Пример 1.5. Уравнение плоскости π. происходящей через три заданные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3). Возьмем произвольную точку M(x, y, z) и образуем три вектора (рис.1.13): = (x -x1, y-y1, z-z1), =(x2-x1, y2-y1, z2-z1), = (x3 -x1, y3 -y1, z3 -z1) Точка М π векторы , , лежат в одной плоскости π их смешанное произведение равно нулю (см. табл. П.2.), т. е. выполнено условие компланарности трех векторов: x -x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0. x3 -x1 y3 -y1 z3 -z1
Пример 1.6 (прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей). Рассмотрим две пересекающиеся плоскости, заданные уравнениями: А1х + В1у + С1z + D1=0 и А2х + В2у + С2z + D2=0. Пересечением этих плоскостей будет прямая, координаты точек которой являются решениями системы: А1х +В1у+С1z+D1=0 А2х +В2у+С2z+D2=0. Основные справочные сведения о видах прямых и плоскостей приведены в табл. 2 прил. 1.
|