Метод координат. Уравнения линий и поверхностей

Декартовая прямоугольная система координат (СК) на плоскости Охуz задается с помощью точки О (начала координат) и парой выходящих из нее ортонормированных векторов , , образующих декартов базис. Каждой точке М плоскости Оху соответствует пара ее координат (х_M у_M) (см.рис.1.1).

Декартовая СК в пространстве Охуz задается с помощью точки О начала координат и ортонормированного базиса (, , ). Положение точки М определяется координатами (х_M, у_M, z_M), являющимися ее проекциями на координатные оси Оx, Оy, Oz (см. рис. 1.2). Заметим, что длина векторов , , равна единице масштаба.

Вторая СК на плоскости – полярная, она задается точкой О (полюсом) и полярной осью – выходящим из нее лучом ОЕ с выбранной единицей масштаба. Положение точки М задается парой координат – полярным радиусом ρ _М=ОМ и полярным углом φ _М (см.рис.1.3).

Формулы перехода из полярной СК в декар-товую и обратно следуют из соотношений меж-ду сторонами и углом в треугольнике ОМx_М:

х_М = ρ _М ∙ cosφ;

у_M = ρ _М ∙ sinφ;

ρ _M =

Угол φ определяется двумя условиями:

sin φ = у_M /ρ _M; cos φ = х_М /ρ _M;

Цилиндрическая СК объединяет эти две СК: в трехмерном пространстве на плоскости Оху вводятся полярные координаты (ρ, φ), а по оси Оz откладывается проекция луча ОМ на эту ось. Тогда положение точки М в пространстве определяется тремя координатами: М=М(ρ _М, φ _М, z_M)

В сферической СК точка М задается координатами М(r_M, φ _М, θ _M), где r_M = |OM|, а в качестве третьей координаты берется угол θ _M между радиус-вектором и осью Оz а
(см. рис. 1.5)

Успех решения многих прикладных задач физики (в т.ч. механики), химии, техники в значительной степени определяется выбором подходящей для данной задачи системы координат

Способы задания линий и поверхностей

В декартовой СК на плоскости существует три основных способа задания линий.

Первый из них – «явный», с помощью функции y = y(x), x [a, b];

Второй, более общий способ – «неявный», с помощью уравнения F(x, y)=0, если этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, которые принадлежат линии L

Третий способ – «параметрический», когда координаты (x, y) точек линии L задаются уравнениями х=х(t), y=y(t), t [t₁, t₂]. Параметр t часто интерпретируется как время.

В полярной СК явное уравнение линии имеет вид:

ρ =ρ (φ), φ [ , ], неявное – F (ρ, φ)=0.

Пример 1.1 Окружность радиуса R с центром в точке О может быть задана в декартовой СК:

1) явно: с помощью пары функций y = ± , x [-R, R];

2) неявно: уравнением x²+y²=R²;

3) параметрически: x=Rcosφ

y=Rsinφ, φ [0, 2 ]

В полярной СК уравнение этой же окружности ρ =R.

Уравнение поверхности в пространстве с введенной в нем декартовой СК может быть задано неявно с помощью уравнения F(x, y, z)=0, если ему удовлетворяют те и только те точки М(x, y, z), которые лежат на поверхности . В такой форме принято представлять, например, уравнения поверхностей второго порядка (см. п. 1.7).

Аналогично задаются поверхности в цилиндрической и сферической СК.

Линия L в пространстве может быть задана как линия пересечения двух поверхностей: L = (рис. 1.7).

Аналитически этому соответствует решение системы уравнений

F₁(x, y, z)=0,

F₂(x, y, z)=0,

где F₁(x, y, z)=0 и F₂(x, y, z)=0 – уравнения поверхностей и в декартовой СК.

Второй способ – параметрическое задание линии системой трех уравнений:

x=x(t)

y=y(t) t [t₁, t₂]

z=z(t)

В разных СК одна и та же линия или поверхность задается разными формулами. Подтверждением этому служит пример 1.1.

С другой стороны, одна и та же формула порождает разные геометрические формы и разные, по сути, виды движения в зависимости от используемой СК. Это иллюстрируют примеры 1.2, 1.3.

Три основных типа движения, рассматриваемых в механике - поступательное, колебательное и вращательное.

Пример 1.2. В декартовой СК с координатами (t, y) прямолинейное движение задается линейным уравнением y=a+bt или, в частном случае, уравнением y=t.

Но движения, описываемые одной и той же формулой линейной зависимости, в декартовой, полярной и цилиндрической СК совершенно различны.

В декартовой СК уравнение y=at+b описывает прямолинейное движение. В полярной СК при t=φ, a> 0 уравнение r=at+b описывает движение по раскручивающийся спирали. В цилиндрической СК получаем снова спираль (рис. 1.8).

В частном случае, когда a=0, b=1, получаем прямую y=1 в декартовой СК и окружность r=1 в полярной СК.

Пример 1.3. В декартовой СК колебательное движение задается уравнением y=sin t или более общим уравнением A× cos (at+b), где t - время, А – амплитуда, а – частота колебаний, b – фаза.

Движение, описываемое формулой y=sint в декартовой СК – это колебательное движение с периодом 2 . В полярной СК формула r=sint (при t=φ) задает движение по окружности. Взяв формулу y=1-sint, в декартовой СК снова получим колебательное движение, в полярной - кардиоиду (рис 1.9).

1.2. Геометрические образы линейных уравнений в пространстве
и на плоскости

Простейшие геометрические объекты – прямые и плоскости. Покажем, что им соответствует простейшие уравнения – линейные.

Теорема 1. Всякой плоскости в пространстве с заданной прямоугольной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно х, y, z, и обратно: всякому линейному уравнению соответствует некоторая плоскость

Доказательство. Любая плоскость π задается вектором нормали к ней = (A, B, C) и какой-либо точкой M_о(x₀, y₀, z₀) π. Любая другая точка M(x, y, z) π тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны. Условием ортогональности векторов является (см. табл. П.1) равенство нулю их скалярного произведения (рис. 1.10)

M π ↔

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (1.1)

Упрощая, получим общееуравнение плоскости в виде

Ax +By + Cz + D = 0 (1.2)

Обратно, пусть дано линейное уравнение (1.2). Рассмотрим какую-либо точку M(x₀, x₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1.2), т.е.

A x₀ + B x₀+ C z₀ + D=0 (1.3)

Вычитая уравнение (1.3) из (1.2), получим:

A (x-x₀) + B (y-y₀) + C (z-z₀) = 0

По доказанному выше, это уравнение задает плоскость, проходящую через точку M₀ и имеющую нормальный вектор =(A, B, C)

Аналогично доказывается

Теорема 2. Всякой прямой на плоскости с заданной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно x, y и, наоборот, всякому линейному уравнению соответствует некоторая прямая.

Задание 1. Какой геометрический образ соответствует уравнению x+y-1=0 а) на плоскости; б) в пространстве? Сделайте чертеж.

Пример 1.4 (уравнение плоскости в отрезках).