II. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через 2с, постоянную величину – через 2а, причем 2а< 2с. Каноническая система координат строится так же, как для эллипса. В этой системе координат для любой точки гиперболы М(х, у) по определению |MF₁| - |MF₂|=±2a (см. рис. 1.22).

Записывая это условие в координатной форме, упрощая и вводя величину b²=c² - a², можно получить каноническое уравнение гиперболы

(1.19)

Исследуем форму гиперболы, исходя из ее уравнения.

1) Уравнение (1.19) содержит только четные степени х и у. Поэтому гипербола имеет две оси симметрии Ох и Оу. Точка их пересечения называется центром гиперболы.

2) Выразим у из (1.19):

Для всех точек (x, y) гиперболы |х|≥ а, поэтому в полосе -а< х< а точек кривой нет. Значит, гипербола состоит из двух отдельных частей, которые называют ветвями гиперболы.

Точки А₁(а, 0) и А₂(-а, 0) называются вершинами гиперболы. Это точки ее пересечения с фокальной осью F₂F₁. Числа 2а и 2b называются, соответственно, ее действительной и мнимой осями.

3) Величина ε = называется эксцентриситетом гиперболы. Так как с> a, то ε > 1.

4) Прямоугольник D={-a≤ x≤ a, -b≤ y≤ b } называется характеристическим прямоугольником. Все точки гиперболы расположены вне D. Прямые у= являются асимптотами гиперболы (см. рис.1.22).

Замечание 1. Гипербола называется равносторонней, если а=b.

Замечание 2. Если центр гиперболы находится в точке О₁(х₀, у₀), то ее уравнение: .