Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Различные формы уравнения прямой
|
|
1. Векторное уравнение прямой в пространстве
Положение прямой L в пространстве можно задать точкой Mо(x0, y0, z0), лежащей на прямой, и вектором 
=(l, m, n), коллинеарным прямой L. Возьмем произвольную (текущую) точку прямой M(x, y, z). Обозначим через вектор r0 радиус – вектор 
(см. рис. 1.14). Точка М 
α тогда и только тогда, когда вектор 
коллинеарен направляющему вектору , т.е. существует такое число t (параметр), что вектор =t∙ . Меняя параметр t от -∞ до +∞, получим те и только те точки М, которые лежат на прямой L. Учитывая, что вектор = 
- 
, получим векторное уравнение прямой в пространстве:
- = t∙ . (1.5)
2. Параметрические уравнения прямой в пространстве
и на плоскости
Перейдем в уравнении (1.5) к координатам, учитывая, что
= - = (x-x0, y-y0, z-z0), а вектор =(l, m, n)
Получим параметрические уравнения прямой в пространстве
x-x0 =l× t x =l× t + x0
L: y-y0 =т× t или L: y =т× t + y0 (1.6)
z-z0 =n× t z =n× t + z0 t (-∞; +∞).
Уравнения (1.6) имеют не только геометрическую, но и механическую интерпретацию. Пусть в начальный момент t=0 точка вышла из положения М0 и движется по прямой со скоростью 
=(l, m, n). Тогда в момент времени t ее координаты можно рассчитать по формулам (1.6).
Параметрические уравнения прямой на плоскости получаем из (1.6) при z=z0, n=0: x=x0+lt
y=y0+mt
3. Каноническое уравнение прямой
Исключая параметр t из (1.6), получим каноническое уравнение прямой в пространстве:
(x-x0)/l = (y-y0)/m =(z-z0)/n (1.7)
и, соответственно, на плоскости: (x-x0)/l = (y-y0)/m.
4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2) в пространстве
Рассмотрим вектор
= (x2-x1, y2 -y1, z2 -z1). Этот вектор можно взять за направляющий вектор прямой L, т.е. считать вектор = .
Подставив в уравнение (1.7) известную точку M1=(x1, y1, z1) и вектор = , получаем уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки:
(x -x1)/(x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1) (1.8)
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1=(x1, y1) и М2(x2, y2) на плоскости, имеет вид: (x -x1)/(x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1).
Справочные сведения о видах прямых представлены в табл. 2 приложения 1.
Пример 1.7. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(2, 3, 1) и М2(4, 1, 1).
Решение. Подставим координаты точек М1 и М2 в (1.8):
(x-2)/2 = (y-3)/-2= (z-1)/0 (= t).
В правой части этого выражения нет деления на ноль, это лишь условие пропорциональности. Смысл прояснится, если записать уравнения этой прямой в параметрической форме:
x=2+2t
y=3-2t
z=1+0t
Соответствующий образ – прямая, лежащая в плоскости z=1.