Приближенные числа и действия над ними

Федеральное государственное общеобразовательное учреждение

Среднего профессионального образования

Уфимский колледж статистики, информатики

И вычислительной техники

Методические рекомендации

К практическим занятиям

по дисциплине: Численные методы

для специальности 230105 - Программное обеспечение

вычислительной техники

и автоматизированных систем»

СОДЕРЖАНИЕ Стр

1 Приближенные числа и действия над ними 3

2 Приближенное решение нелинейных уравнений 7

3 Решение систем линейных уравнений 11

4 Приближение функций 13

5 Численное интегрирование 16

Литература 18

Приближенные числа и действия над ними

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения Предельной абсолютной погрешностью приближения или границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности называется число . Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей оценкой погрешности является наименьшая оценка.

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю точного значения величины называется относительной погрешностью . Для предельной относительной погрешности (оценки относительной погрешности): . Относительная погрешность обычно выражается в %.

Цифра в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда r, которому принадлежит эта цифра (Нулевым разрядом считается разряд единиц, десятичные цифры считаются отрицательными разрядами). Остальные цифры числа называются сомнительными. Значащими цифрами числа, записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими.

Правила подсчета цифр для прямой задачи

1) В алгебраической сумме приближенных значений, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить, оставив на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.

2, 3+4, 681=2, 3+4, 68=6, 98≈ 7, 0

2) В произведении приближенных значений следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим количеством значащих цифр. Сомножители с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного сомножителя. Аналогично для деления.

23 ∙ 1, 056 ≈ 23 ∙ 1, 06 =24, 38 ≈ 24; 10, 1 ∙ 0, 5 ≈ 5

3) При возведении приближенного числа в степень или при извлечении корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени или подкоренное число.

4) При выполнении последовательного ряда действий над приближенными числами в промежуточных результатах следует оставлять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта цифра отбрасывается по правилам округления.

Метод границ аргументов (МГА)

ДАНО: - монотонная функция;

Приближенные значения аргументов и оценки погрешностей.

МЕТОД:

В результате оставляют верные цифры плюс 1 сомнительную (в соответствии с полученной погрешностью).

Метод границ погрешностей (МГП)

Оценка погрешности результата вычисляется как функция погрешностей исходных данных. Вывод формулы осуществляется по соотношениям, приведенным в таблице.

Таблица 1.1.

Действия над приближ.числами	Функция	Оценка абсолютной погрешности	Оценка относительной погрешности
Сложение
Умножение
Деление
Степень
Корень

Принцип равных влияний.

Принцип заключается в том, что оценки погрешностей аргументов одинаково влияют на погрешность результата, т.е. считаются равными.

ЗАДАЧА 1.1. Объем помещения V определен с предельной относительной погрешностью δ Сколько значащих цифр в V?

V=503м3	РЕШЕНИЕ
n –?

V=500±5

ЗАДАЧА 1.2. Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность.

a=0, 0359 n=2	РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧА 1.3. Округлите сомнительные цифры приближенного числа а, если известна относительная погрешность δ

а=0, 6594

РЕШЕНИЕ.

ЗАДАЧА 1.4.

Стороны прямоугольника Вычислить диагональ прямоугольника по формуле: и оценить погрешности вычислений.

РЕШЕНИЕ

1) Правило подсчёта цифр:

При возведении в степень по 4 правилу подсчета цифр остановлено на одну цифру больше, чем содержит основание степени

При сложении количество десятичных знаков в результате равно числу десятичных знаков в слагаемых (дополнительная цифра не добавляется, так как она уже есть в каждом слагаемом).

При извлечении корня в результате оставлено столько цифр, сколько в подкоренном выражении. В окончательном результате запасная цифра округляется.

2) МГА:

3) МГП

Предварительно получив формулу, пользуясь таблицей 1.1., вычислим ∆ _с

Оценим ∆ _с =0, 04≤ 10^-1

Следовательно, верным в результате будет только 1 десятичный знак. Произведём вычисления по формуле и округлим результат, оставив дополнительно 1 сомнительную цифру.

с=4, 05±0, 04

ЗАДАЧА 1.5. С каким числом верных знаков следует выбрать числа a и b, чтобы получить с в задаче 1.4. с одной верной цифрой?

РЕШЕНИЕ

По условию

По принципу равных влияний

Следовательно, чтобы в задаче 1.4. получить результат с 1 верной цифрой, исходные данные необходимо брать без десятичных цифр.

Задание 1.1.

Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность со следующими исходными данными.

	a=295, 3 n=2, n=3, n=4

Задание 1.2.

Округлите сомнительные цифры приближенного числа а, если известна относительная погрешность δ

а=694, 6 ,