Приближенное решение нелинейных уравнений

Общие свойства алгебраических уравнений

Алгебраическое уравнение всегда можно привести к виду:

, где

Количество действительных положительных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов уравнения, либо на четное число меньше (равные нулю коэффициенты не учитываются), а количество отрицательных действительных корней равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов Р_n(-х) или на четное число меньше.

Если уравнение полное, то количество его отрицательных корней равно числу постоянств знака в последовательности коэффициентов Р_n(х) или на четное число меньше.

Область существования корней алгебраического уравнения можно определить различными способами.

Правило кольца

Тогда корни уравнения заключены в круговом кольце

т.е. для положительных корней
а для отрицательных корней.

Способы отделения корней.

1. Графический. Применяется для грубого определения интервалов изоляции корня. Преобрахуем . Отрезки, где находятся точки пересечения графиков функций g(x) и h(x), принимаются за отделённые.

2. Аналитический.

Алгоритм:

а) найдем производную функции;

б) определим критические (производная равна нулю или не существует) и граничные точки функции;

в) составим таблицу знаков функции в критических и граничных точках (или близких к ним);

г) определим интервалы, на концах которых функция имеет значения разных знаков;

д) сузим найденные интервалы.

При решении алгебраических уравнений в качестве граничных можно взять точки, полученные по правилу кольца; в качестве критических – критические точки функций, построенных в графическом методе.

Уточнение корней

Начальное приближение для метода касательных выбирается из условия совпадения знаков функции и второй производной: x₀= . Это же условие определяет закрепленный конец для метода хорд.

В качестве функции φ (x) для метода простой итерации выбирают функцию
, где и знак k совпадает со знаком f ^/(x) на [A, B]

ЗАДАЧА 2. Дано уравнение (x + 3)⁴ – x – 7= 0

1) Определить количество положительных и отрицательных корней и найти область существования корней.

2) Отделить корни графически и аналитически

3) Найти закрепленный конец функции на одном из отделенных отрезков и построить схематический график.

4) Построить функцию для метода итераций

РЕШЕНИЕ

1) Раскроем скобки и приведем подобные члены

Положительных корней нет, так как нет смены знака коэффициентов при неизвестных.

4 или 2 или 0 отрицательных корней, так как число постоянств знака коэффициентов при неизвестных равно 4.

2) Разобьем исходную функцию на две, перенесем в правую часть уравнения и построим графики соответствующих функций

.

По рисунку видно, что графики пересекаются в двух точках, абсцисса которых отрицательна, т.е. исходное уравнение имеет два отрицательных действительных корня, что соответствует предыдущему исследованию. По рисунку определим интервалы, которым принадлежат абсциссы точек пересечения графиков функций:

;

Проверим знак функции на границе области существования и в точках, подозрительных на критические. Определим отделенные отрезки и сузим их.

;

3) Выберем отделенный отрезок

, следовательно функция на отрезке имеет выпуклость вниз.

4) Сравним значения производной на концах отрезка:

Проверка:

. Следовательно, процесс сходится, т.е. функция построена правильно.