Решение систем линейных уравнений

Метод простой итерации

В этом методе исходная система уравнений Ах=В приводится к виду x=Cx+D, выбирается начальное приближение и каждое следующее приближение определяется по формуле .

Условие сходимости: или

Алгоритм приведения системы уравнений к виду, пригодному для метода итераций:

- выбрать уравнения, в которых коэффициент при одном неизвестном превышает сумму модулей коэффициентов при других неизвестных;

- выполнить алгебраические преобразования так, чтобы в остальных уравнениях коэффициент при одном неизвестном превышал сумму модулей коэффициентов при других неизвестных (причем максимальный коэффициент в каждом уравнении должен быть при разных переменных);

- максимальный коэффициент в каждом уравнении представить в виде разности, уменьшаемое в которой кратно 10;

- слагаемые с коэффициентом, кратном 10 перенести в левую часть уравнений, остальные – в правую;

- разделить все уравнения на коэффициент, стоящий в левой части урвнений;

- проверить условие сходимости для каждого уравнения.

ЗАДАЧА 3.

Привести систему уравнений к виду, пригодному для метода итераций.

РЕШЕНИЕ.

Приведем систему уравнений к виду x=Cx+D

Выберем уравнение, в котором коэффициент при одном неизвестном превышает сумму модулей коэффициентов при других неизвестных: x₁– 4 х₂ + 2 х₃= 4.Умножим левую и правую часть уравнения на – 1, получим уравнение: –x₁ + 4 х₂ – 2 х₃=– 4.

Выполним алгебраические преобразования так, чтобы в остальных уравнениях коэффициент при одном неизвестном превышал сумму модулей коэффициентов при других неизвестных (причем максимальный коэффициент в каждом уравнении должен быть при разных переменных).

Сложив первое и второе уравнения, получим: 5 x₁ + 3 х₂+х₃= 28.

Умножив второе уравнение на 2 и сложив с третьим, получим: 5 x₁– 2 х₂+ 8 х₃ = 34.

Поменяв уравнения местами, получим систему уравнений, эквивалентную заданой:

Максимальный коэффициент в каждом уравнении представим в виде разности, уменьшаемое в которой кратно 10:

Слагаемые с коэффициентом, кратном 10 перенесем в левую часть уравнений, остальные – в правую:

Разделим все уравнения на коэффициент, стоящий в левой части урвнений (на 10):

Проверим условие сходимости:

0, 5 + 0, 3 + 0, 1 = 0, 9 < 1

0, 1 + 0, 6 + 0, 2 = 0, 9 < 1

0, 5 + 0, 2 + 0, 2 = 0, 9 < 1

Таким образом, полученная система уравнений удовлетворяет условию сходимости.