Численое интегрирование

Метод Монте-Карло построен на случайном выборе точек внутри прямоугольника, содержащего заданную фигуру. Идея метода: при большом количестве точек, наугад выбранных внутри прямоугольника, доля точек, содержащихся в заданной фигуре, приближенно равна отношению площади этой фигуры к площади прямоугольника.

Пусть rnd(1)– функция, моделирующая случайное число на отрезке [0, 1]. Тогда координаты случайной точки внутри прямоугольника ab× cd можно определить по формулам: х=a+ (b – a)rnd(1); y= c+ (d – c)rnd(1).

Пусть подинтегральная функция на отрезке интегрирования расположена выше оси абсцисс. Тогда с=0, , y = d rnd(1),

ЗАДАЧА 5.

Найти формулы определения координат случайной точки для вычисления интегралов по методу Монте-Карло.

1) 2)

РЕШЕНИЕ

1) х=a+ (b – a)rnd(1) = 2+(3– 2)rnd(1) = 2 +rnd(1)

Подинтегральная функция f(x)=x ²–3 x +2 является параболой, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

f'(x)= 2 x – 3 = 0, x =1, 5 , f (3) = 2.

Следовательно, .

На отрезке [2, 3] f(x) ≥ 0, следовательно, с = 0.

y = d rnd(1) = 2 rnd(1).

2) х=a+ (b – a)rnd(1) = 1+(2– 1)rnd(1) = 1+ rnd(1)

Подинтегральная функция f(x)= – x ²+3 x –2 является параболой, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

f'(x)= –2 x + 3 = 0, x =1, 5 , f (1, 5) = 0, 25.

Следовательно, .

На отрезке [1, 2] f(x) ≥ 0, следовательно, с = 0.

y = d rnd(1) = 0, 25 rnd(1).