Численное интегрирование. Задача численного интегрирования состоит в том, чтобы найти численное значение определенного интеграла

Задача численного интегрирования состоит в том, чтобы найти численное значение определенного интеграла

, (1)

где - функция, непрерывная на отрезке интегрирования . Формулы для решения этой задачи называются квадратурными. Квадратурная формула позволяет вместо точного значения интеграла (1) найти некоторое его приближенное значение . Разность точного и приближенного значений интеграла называется абсолютной погрешностью квадратурной формулы (или численного метода),

.

Квадратурные формулы используют для вычисления интеграла (1) значения , , …, функции в точках отрезка . Квадратурная формула имеет вид

, (2)

где - некоторые коэффициенты, которые называют весовыми.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла: выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми и осью ).

Рассмотрим два подхода к решению задачи численного интегрирования.

1) Разобьем отрезок интегрирования на частичных отрезков, вычислим интегралы на частичных отрезках. Интеграл на всем отрезке интегрирования равен сумме интегралов на частичных отрезках (свойство аддитивности определенного интеграла).

2) Вычислим , заменяя подынтегральную функцию на всем отрезке интегрирования интерполяционным полиномом Лагранжа , построенным на узлах .

Обозначим через максимальное по модулю значение производной - го порядка функции на отрезке :

Рассмотрим варианты решения данной задачи.