Интерполяционные квадратурные формулы.

Рассмотрим вычисление следующего интеграла:

, (4)

Где , заданная интегрируемая функция, так называемая весовая функция и - некоторая достаточно гладкая функция, которую назовем подынтегральной. Этот интеграл является более общим по сравнению с рассматриваемым ранее интегралом (1).Интеграл вида (1) получается из (4) при весовой функции .

Для вычисления интеграла (3) применим следующий подход: выберем на отрезке точек . В отличии от предыдущих методов не будем вычислять интегралы на частичных отрезках, а заменим подынтегральную функцию на всем отрезке интерполяционным полиномом Лагранжа, построенным на узлах . В результате получим следующую квадратурную формулу:

(5)

(6)

Формула (5), в которой коэффициенты определяются выражением (6) называется интерполяционной квадратурной формулой.

Абсолютная погрешность формулы (3)оценивается выражением:

(7)

Из выражения (6) видно, что полученная интерполяционная квадратурная формула точна для полиномов - ой степени, поскольку в этом случае .

Таким образом, квадратурная формула интерполяционного типа (5), построенная на узлах является точной для полиномов степени.

Рассмотренные нами ранее формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона являются частным случаем квадратурных формул интерполяционного типа при (1, 2 и 3 узла соответственно).

Для некоторых квадратурных формул оценка погрешности (7) является неточной, т.к. она не учитывает симметрии формул. Например, формула средних прямоугольников точна для полиномов 1- ой степени, а формула Симпсона точна для полиномов третьей степени. Квадратурная формула (2) называется симметричной, если:

1) четно ( - узел, )

2) узлы расположены симметрично относительно середины отрезка , т.е.

, ;

3) ,

Свойство (3) коэффициентов квадратурной формулы определяется не только симметричным расположением узлов, но и симметрией весовой функции . Говорят, что - четная функция относительно середины отрезка , если

для всех .

Справедлива следующая теорема:

Пусть - четная функция относительно точки и пусть выполнены условия (2), где - четное число. Тогда, если квадратурная формула интерполяционного типа (5) точна для любого многочлена степени , то она точна и для любого многочлена степени .

Заметим, что зависит только от самих узлов, на которые разбит промежуток, но не зависит от функции . Следовательно, коэффициенты не зависят от вида функции также и, используя эти коэффициенты, можно считать интегралы от различных функций (при условии одинакового разбиения на узлы). Т.к. формула (5), построенная на узлах является точной для полиномов степени, то коэффициенты можно найти при помощи метода неопределенных коэффициентов.

Построим интерполяционную квадратурную формулу для вычисления интеграла , . Выберем на стандартном отрезке три равностоящих узла: . Т.к. формула (5) в нашем случае точна для полиномов степени , то имеет место точное равенство для полиномов степени .

На самом деле формула является симметрической (смотри условия симметрии) и верна для полиномов степени , но т.к. у нас три неизвестных коэффициента (три узла), то нам достаточно трех уравнений.

Тогда имеем:

Решая систему, получим: .

Формула имеет вид:

и совпадает с формулой Симпсона на отрезке :

. .

Для перехода к отрезку надо провести линейную замену переменных:

=

и квадратурная формула имеет вид:

Например, интерполяционная квадратурная формула, построенная на трех равностоящих узлах на отрезке , имеет вид:

Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля)

Точность интерполяционной квадратурной формулы можно существенно повысить путем рационального выбора узлов . Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом:

построить квадратурную формулу

, (8)

которая при заданном была бы точной для полиномов возможно большой степени. Обратите внимание, что в формуле (8) для удобства изложения нумерация узлов начинается с . Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентов и узлов . Такие формулы существуют. Они называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или квадратурными формулами Гаусса – Кристоффеля или квадратурными формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .

Таким образом, для любых существует, причем единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности вида(8).Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весом полинома степени , а коэффициенты определяются формулой:

Узлы и соответствующие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функций и сводятся в таблицу. Приведем пример квадратурной формулы Гаусса.

К вадратурная формула Гаусса-Лежандра

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра используется для вычисления
интеграла с единичной весовой функцией =1 на конечном отрезке , т.е. интеграл вида

Этот интеграл линейной заменой переменных

приводится к виду

=

На отрезке ортогональны с весом =1 полиномы Лежандра

.

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лежандра . Квадратурная формула имеет вид

В таблице в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании двух, трех и четырех узлов.

Таблица – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса-Лежандра

Число узлов	Значение улов	Значение весовых коэффициентов
	0, 577350
	0 0, 774597
	0, 339981 0, 861136	0, 652145 0, 347855

Рассмотрим данные методы на примере.

Вычислим . Этот интеграл сводится к табличному и он равен , его значение:

Разобьем отрезок интегрирования [0, 1] на 5 равных частей (5 частичных отрезков). Количество узлов – 6.В нашем случае a = 0, b = 1. Вычислим h.

h = 0, 2.

Интегрируемая функция

Вычислим значения функции в узлах: 0; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1.

Для оценки погрешности вычислим производные 1, 2 и 4 – го порядка:

Максимальное по абсолютной величине значение на отрезке [0, 1] производные достигают в точке x = 0.Соответственно, .

Вычислим интеграл методом левых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8. h = 0, 2.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом правых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1. h = 0, 2.

Вычислим интеграл методом трапеций.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1. h = 0, 2.

Погрешность метода оценивается выражением:

Разобьем отрезок интегрирования [0, 1] на 10равных частей (n = 10), вычислим интеграл методом трапеций при h1 = 0, 1 и оценим полученный результат по правилу Рунге.

Погрешность вычисления интеграла оценивается выражением:

Вычислим интеграл по квадратурной формуле интерполяционного типа.

Возьмем 3 узла: 0; 0, 5; 1.Функция f(x) на отрезке [0, 1] заменяется параболой (n = 2). Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах 0; 0, 5; 1 совпадает с формулой Симпсона.h = 0, 5.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом средних прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем середины частичных отрезков, т. е точки: 0, 1; 0, 3; 0, 5; 0, 7; 0, 9. Вычислим значения функции в узлах интегрирования.

Для этого разобьем отрезок интегрирования [0, 1] на 10 равных частей.

h1 = 0, 1. h =2*h1 = 0, 2.

Погрешность оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом Симпсона.

Отрезок интегрирования [0, 1] разбивается на 2n = 10 равных частей.
h =h1=0, 1.

Погрешность интегрирования методом Симпсона оценивается выражением:

Вычислим интеграл по формулам Гаусса – Кристоффеля.

При n =2:

При n = 3:

При n = 4:

Задание:

1. Вычислить точное значение интеграла согласно варианту.

2. Вычислить определенный интеграл одним из методов согласно варианту при ( - число частичных отрезков, количество узлов ). В методе Симпсона .

3. Методом неопределенных коэффициентов построить интерполяционную квадратурную формулу на 4 равностоящих узлах, вычислить интеграл.

4. Вычислить интеграл по формуле Гаусса - Кристоффеля на 3 и 4 узлах соответственно.

5. Оценить реальную и ожидаемую погрешность (в т.ч. по правилу Рунге).

6. Самостоятельно сделать выводы.

Варианты:

№ №	Определенный интеграл	Методы
1.		средних прямоугольников, трапеций
2.		парабол (Симпсона), трапеций
3.		парабол (Симпсона), правых прямоугольников
4.		средних прямоугольников, парабол (Симпсона)
5.		парабол (Симпсона), трапеций
6.		средних прямоугольников, правых прямоугольников
7.		парабол (Симпсона), трапеций
8.		средних прямоугольников, трапеций
9.		парабол (Симпсона), левых прямоугольников
10.		парабол (Симпсона), трапеций
11.		средних прямоугольников, парабол (Симпсона)
12.		парабол (Симпсона), средних прямоугольников.