Формула Симпсона (формула парабол).

Теперь аппроксимируем функцию на элементарном отрезке параболой. По сравнению с предыдущими способами вдвое уменьшим расстояние между узлами . Таким образом, получаем частичных отрезков и узлов интегрирования. Значения функции в узлах: . Квадратурная формула Симпсона имеет вид:

Абсолютная погрешность формулы Симпсона оценивается выражением:

Абсолютная погрешность формулы Симпсона имеет тот же порядок, что и (четвертый порядок точности). Формула Симпсона точна для полиномов степени .

При приближенном вычислении определенного интеграла на компьютере оценка точности вычислений по приведенным выше формулам для погрешностей, как правило, не применяется ввиду трудности нахождения . В таких случаях используют правило Рунге.

Правило Рунге основано на соотношении:

, (3)

где , - приближенные значения определенного интеграла, вычисленные при разбиении отрезка интегрирования на n и 2n частей соответственно; - порядок метода; - заданная точность. При каждом последующем приближении число отрезков разбиения удваивается. Если условие выполнено, за приближенное значение интеграла принимается значение , т.е. .Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной.

Напомним порядки методов (по ):