Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполирование функций
|
|
При математическом моделировании часто используются зависимости вида у(х), обычно заданные рядом значений х и у их узловых точек. Однако, когда этих точек мало, такая зависимость оказывается не информативной и не наглядной. Промежуточные точки зависимости у(х) можно получить путем их интерполяции. Интерполирующая функция должна проходить через узловые точки и принимать значения, близкие к точным, в остальных точках. Одной из распространенных интерполирующих функций является интерполяционный многочлен Лагранжа:
. (19)
При n=1 получается формула линейной интерполяции, при n=2 – квадратичной интерполяции и т.д.
В системе MathCad существуют встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. При линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых. Если х выходит за пределы конечных точек, то осуществляется линейная экстраполяция по отрезкам прямых, примыкающим к конечным точкам. При сплайн-интерполяции зависимость у(х) заменяется кусками полиномов третьей степени. Каждый полином проходит точно через три ближайшие узловые точки. Коэффициенты полинома подбираются так, чтобы обеспечить не только непрерывность функции в узловых точках, но и непрерывность ее двух производных. Эти свойства сплайн-интерполяции позволяют эффективно применять ее даже при малом числе узловых точек – до 5-7 для простых функций.
Интерполяция реализуется с помощью следующих функций:
- linterp(X, Y, x) –вычисляет значение у(х) для заданного х при линейной интерполяции,
- cspline(X, Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и кубической экстраполяции,
- pspline(X, Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и параболической экстраполяции,
- lspline(X, Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и линейной экстраполяции,
- interp(V, X, Y, x) – вычисляет значение у(х) для заданного х при сплайн-интерполяции.
Задание 5.1. Определить значения функции в точках Х1 и Х2, используя встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. Построить графики интерполирующих функций в обоих случаях (см. приложение В).
Вариант 1
| Х | 1, 3 | 2, 1 | 3, 7 | 4, 5 | 6, 1 | 7, 7 | 8, 5 |
| У | 1, 777 | 4, 5634 | 13, 8436 | 20, 3952 | 37, 33, 87 | 59, 4051 | 72, 3593 |
Х1=5, 2 Х2=7, 9
Вариант 2
| Х | 1, 2 | 1, 9 | 3, 3 | 4, 7 | 5, 4 | 6, 8 | 7, 5 |
| У | 0, 3486 | 1, 0537 | 1, 7844 | 2, 2103 | 2, 3712 | 2, 6322 | 2, 7411 |
Х1=2, 1 Х2=7, 3
Вариант 3
| Х | 2, 6 | 3, 3 | 4, 7 | 6, 1 | 7, 5 | 8, 2 | 9, 6 |
| У | 2, 1874 | 2, 8637 | 3, 8161 | 3, 8524 | 3, 1905 | 2, 8409 | 2, 6137 |
Х1=4, 1 Х2=7, 9
Вариант 4
| Х | 1, 3 | 2, 1 | 3, 7 | 4, 5 | 6, 1 | 7, 7 | 8, 5 |
| У | 1, 777 | 4, 5634 | 13, 8436 | 20, 3952 | 37, 33, 87 | 59, 4051 | 72, 3593 |
Х1=3, 9 Х2=9, 3
Вариант 5
| Х | 1, 2 | 1, 9 | 3, 3 | 4, 7 | 5, 4 | 6, 8 | 7, 5 |
| У | 0, 3486 | 1, 0537 | 1, 7844 | 2, 2103 | 2, 3712 | 2, 6322 | 2, 7411 |
Х1=2, 9 Х2=7, 4
Вариант 6
| Х | 2, 6 | 3, 3 | 4, 7 | 6, 1 | 7, 5 | 8, 2 | 9, 6 |
| У | 2, 1874 | 2, 8637 | 3, 8161 | 3, 8524 | 3, 1905 | 2, 8409 | 2, 6137 |
Х1=5, 5 Х2=9, 4
Вариант 7
| Х | 1, 3 | 2, 1 | 3, 7 | 4, 5 | 6, 1 | 7, 7 | 8, 5 |
| У | 1, 777 | 4, 5634 | 13, 8436 | 20, 3952 | 37, 33, 87 | 59, 4051 | 72, 3593 |
Х1=2, 5 Х2=8, 3
Вариант 8
| Х | 1, 2 | 1, 9 | 3, 3 | 4, 7 | 5, 4 | 6, 8 | 7, 5 |
| У | 0, 3486 | 1, 0537 | 1, 7844 | 2, 2103 | 2, 3712 | 2, 6322 | 2, 7411 |
Х1=4, 1 Х2=7, 2
Вариант 9
| Х | 2, 6 | 3, 3 | 4, 7 | 6, 1 | 7, 5 | 8, 2 | 9, 6 |
| У | 2, 1874 | 2, 8637 | 3, 8161 | 3, 8524 | 3, 1905 | 2, 8409 | 2, 6137 |
Х1=2, 8 Х2=9, 1
Вариант 10
| Х | 1, 3 | 2, 1 | 3, 7 | 4, 5 | 6, 1 | 7, 7 | 8, 5 |
| У | 1, 777 | 4, 5634 | 13, 8436 | 20, 3952 | 37, 33, 87 | 59, 4051 | 72, 3593 |
Х1=4, 1 Х2=8, 2
Вариант 11
| Х | 1, 2 | 1, 9 | 3, 3 | 4, 7 | 5, 4 | 6, 8 | 7, 5 |
| У | 0, 3486 | 1, 0537 | 1, 7844 | 2, 2103 | 2, 3712 | 2, 6322 | 2, 7411 |
Х1=2, 9 Х2=7, 1
Вариант 12
| Х | 2, 6 | 3, 3 | 4, 7 | 6, 1 | 7, 5 | 8, 2 | 9, 6 |
| У | 2, 1874 | 2, 8637 | 3, 8161 | 3, 8524 | 3, 1905 | 2, 8409 | 2, 6137 |
Х1=5, 5 Х2=8, 9
Порядок выполнения задания:
1. Ввести значения векторов Х и У.
2. С помощью функции linterp(X, Y, x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при линейной интерполяции.
3. Построить график функции при линейной интерполяции.
4. С помощью функций cspline(X, Y) interp(V, X, Y, x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при сплайн-интерполяции.
5. Построить график функции при сплайн-интерполяции.
Задание 5.2. Записать интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значения функции в указанных точках с помощью системы MathCad. Построить график.
Порядок выполнения задания:
1. Записать формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, используя знаки суммы и произведения и встроенной функции if (условие, выражение 1, выражение 2), которая принимает значение выражения 1, если условие выполняется, и выражения 2, если условие не выполняется.
2. Вычислить значение функции в указанных точках (данные взять из задания 1).
3. Построить график интерполяционного многочлена.
Задание 5.3. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа (19).
Вариант 1
| Х | -1 | ||
| У | -3 |
Вариант 2
| Х | |||
| У |
Вариант 3
| Х | |||
| У | -1 | -4 |
Вариант 4
| Х | |||
| У | -2 |
Вариант 5
| Х | -3 | -1 | |
| У | -1 |
Вариант 6
| Х | |||
| У | -3 | -7 |
Вариант 7
| Х | -2 | -1 | |
| У |
Вариант 8
| Х | |||
| У | -3 |
Вариант 9
| Х | -1 | ||
| У | -3 |
Вариант 10
| Х | -3 | -1 | |
| У | -1 |
Вариант 11
| Х | |||
| У |
Вариант 12
| Х | |||
| У | -2 |