Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод наименьших квадратов. Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x1, x2, , xn:
|
|
Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x1, x2, …, xn:
(23)
Параметры a1, a2, …, am эмпирической формулы (20) будем находить из условия минимума функции S. В этом состоит метод наименьших квадратов. Минимум функции находим из условия равенства нулю частных производных по всем параметрам:
… 
(24)
Полученные соотношения - система линейных уравнений для опреде-ления неизвестных параметров.
Например, для линейной функции y = ax + b эта система имеет вид:
(25)
В системе MathCad существуют встроенные функции для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости y=ax+b:
- slope(x, y) - возвращает значение коэффициента а;
- intercept(x, y) - возвращает значение коэффициента b.
Формулы для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости можно применять для нахождения параметров эмпирических функций, график которых не является прямой линией.
Так, если эмпирическая формула имеет вид степенной функции y=kxm, то, введя обозначения У=lny и X=lnx можно воспользоваться формулами для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости и выразить через них значения коэффициентов k и m: k=eb и m=a .
Если эмпирическая формула имеет вид показательной функции y=peqx, то, введя обозначения У=lny и X=x и вычислив коэффициенты а и b линейной зависимости, можно выразить через них значения коэффициентов p и q: p=eb и q=a .
Примеры построения эмпирических формул даны в приложении Г.
Задание 6.1. По заданным экспериментальным данным найти параметры эмпирических формул (y=ax+b, y=kxm, y=peqx, y=alnx+b)методомнаименьших квадратовс помощью встроенных функций MathCad. Построить графики полученных функций. Выбрать наилучшее приближение и найти значение у в точке х=n +0.55, где n - номер варианта.
Вариант 1
| x | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.2 | 1.4 |
| y | 3.0 | 4.38 | 6.78 | 9.86 | 14.96 | 22.07 | 33.17 | 49.23 |
Вариант 2
| x | 0.05 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.9 | 1.2 | 1.5 | 1.8 |
| y | 0.521 | 1.555 | 3.572 | 5.622 | 7.801 | 11.77 | 14.78 | 17.82 |
Вариант 3
| x | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.7 | 1.2 | 1.5 | 2.5 | |
| y | 3.02 | 4.38 | 6.78 | 9.86 | 14.96 | 22.07 | 33.17 | 49.23 |
Вариант 4
| x | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
| y | 11.213 | 8.0617 | 6.3512 | 4.8412 | 4.1201 | 0.9103 | 0.5413 | 0.1512 |
Вариант 5
| x | 0.1 | 0.5 | 1.7 | 2.50 | 3.5 | |||
| y | 109.13 | 40.271 | 14.728 | 5.5432 | 2.1201 | 0.8403 | 0.1733 | 0.2112 |
Вариант 6
| x | 0.2 | 0.45 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 3.0 | 5.0 | 7.0 |
| y | 4.455 | 9.034 | 9.952 | 11.38 | 12.52 | 17.98 | 20.55 | 22.23 |
Вариант 7
| x | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 2.0 | 4.0 | 6.0 |
| y | 6.733 | 4.027 | 1.762 | 1.452 | 1.211 | 0.693 | 0.423 | 0.312 |
Вариант 8
| x | 8.0 | 6.0 | 4.0 | 2.0 | 1.0 | 0.8 | 0.6 | 0.4 |
| y | 0.2813 | 0.6123 | 0.6512 | 1.6122 | 2.9201 | 3.8503 | 4.9123 | 7.6212 |
Вариант 9
| x | 0.05 | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8.0 | 10.0 | 12.0 | 14.0 |
| y | 0.0121 | 2.7312 | 4.1012 | 4.8112 | 5.7601 | 6.2203 | 7.0313 | 7.5812 |
Вариант 10
| x | 0.2 | 0.45 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 3.0 | 5.0 | 7.0 |
| y | 5.121 | 5.531 | 5.642 | 5.95 | 6.11 | 9.13 | 13.53 | 20.31 |
Вариант 11
| x | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 3.0 | 5.0 | 7.0 |
| y | 17.23 | 19.11 | 19.52 | 20.03 | 20.52 | 22.67 | 23.73 | 24.55 |
Вариант 12
| x | 0.2 | 0.45 | 0.9 | 1.5 | 3.0 | 5.0 | 7.0 | |
| y | 0.323 | 0.727 | 1.122 | 1.6582 | 1.9001 | 3.3103 | 4.5213 | 5.9812 |
Порядок выполнения задания:
1. Ввести значения векторов х и y.
2. Вычислить коэффициенты a1 и b1 аппроксимирующей прямой у1(х), используя формулы slope(x, y) и intercept(x, y).
3. Вычислить коэффициенты k и m степенной функции y2(х)=kxm, предварительно введя новые переменные У и X и вычислив коэффициенты а2 и b2 линейной зависимости, используя формулы slope(Х, У) и intercept(Х, У).
4. Вычислить коэффициенты p и q показательной функции у3(х)= peqx, предварительно введя новые переменные У и X и вычислив коэффициенты а3 и b3 линейной зависимости.
5. Вычислить коэффициенты a4 и b4 показательной функции у4(х)=a4lnx+b4, предварительно введя новые переменные У и X.
6. Изобразите на графике заданные экспериментальные точки Уi и функции у1(хi), у2(хi), у3(хi), у4(хi) и выберите наилучшее приближение.
7. Найдите значение функции в указанной точке.