Систем линейных алгебраических уравнений.

Наиболее простой способ решения системы линейных алгебраических уравнений можно получить с помощью оператора x=A\B. Для этого необходимо ввести матрицы A и B, а затем поделить их с помощью обратной косой черты.

За простотой использования этого оператора скрыт сложный алгоритм, который практически использует все современные методы расчетной работы с матрицами. Поэтому анализ задачи и поиск методов решения выполняет МATLAB.

Оператор solve позволяет решить систему уравнений, если ее записать в ' ' во входных параметрах оператора: [x, y, z, s]=solve('x+2*y+z+4*s=13', '2*x+4*z+3*s=28', '4*x+2*y+2*z+s=20', '-…

3*x+y+3*z+2*s=6'). Его чаще используют для решения системы символьными методами.

При вводе матрицы B будут решаться столько систем уравнений сколько столбцов в матрице B.

Если ввести матрицу A, то можно получить матрицы L, U и P командой МATLAB: [L, U, P] = lu(A).

Полезно знать основные операции с матрицами:

+ - * ^ (сложение, вычитание, умножение и возведение в целую степень. В показателе степени может быть матрица).

' (транспонирование матрицы).

При всех операциях необходимо согласовывать размеры матриц.

При умножении матриц не следует нарушать правила умножения матриц.

Примеры, описанных операций C = A + B, C = A - B, C = A*B, C = A^2, C=A’.

При умножении матриц можно перемножать строки, столбцы и матрицы в таких допустимых комбинациях:

1. Матрица А на матрицу В – получим матрицу С.

2. Матрица А на столбец В - получим столбец С.

3. Строка А на матрицу В – получим строку С.

4. Строка А на столбец В - получим скаляр С.

5. Столбец А на строку В – получим матрицу С.

Наиболее трудоемкую операцию обращения матрицы можно выполнить так:

С = A^-1, поделить единичную матрицу на А(E/A), использовать оператор inv(A).

Единичную матрицу можно создать так: E=eye(3, 3). Создание нулевой матрицы zeros (3, 3) и матрицы состоящей из единиц ones (3, 3).

К матрице можно обращаться с одним входным аргументом: A(5). Счет элементов в матрице идет последовательно по столбцам.

Удалить элементы матрицы, строку или столбец можно с помощью присваивания пустой матрицы [ ].

Знак двоеточие (:) означает необходимость использовать элементы строки или столбца от заданного до конца строки или столбца. Например, для матрицы A:

A=[4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5];

A(1,:)=[ ] -удалили первую строку и C=A(1: 3, 2: 3) –выделили блок, состоящий из второй и третей строк.

Приведем алгоритм умножения матриц в виде процедуры записанной на языке Турбо Паскаль. Он позволяет детально проследить все возможные комбинации при умножении матриц.

Procedure UmnMat (Var a, b, c: mat; Var M, N, L: integer);

Var k, I, j: integer;

Var s: rial;

Begin

For k: =1 to M do

For j: =1 to L do

Begin s: =0;

For i: =1 to N do

S: =s+A[K, I]*B[I, J];

C[K, J]: =S

End;

End.

Обращение к процедуре UmnMat(A, B, C, M, N, L);

Пусть размерность матрицы А , а матрицы В . Произведение: матрица С размером . Реализован общий случай 1.

Если L=1, то реализован случай 2 и результат имеет вид столбца .

Если , то имеем 3 случай и результат будет строка .

Если и , то имеем 4 случай и результат будет скаляр в .

Если , то имеем 5 случай А () и В (), а С(), т.е. матрица.

Порядок написания m, n, L, как фактических параметров, при обращении к процедуре

UmnMat должен соблюдаться, поскольку параметры циклов жёстко связанны с параметрами m, n, L.

Задание для самостоятельной работы:

Решить систему линейных алгебраических уравнений методами Гаусса, Гаусса-Зейделя и LU - разложения.

а)