Решение систем нелинейных уравнений.

Имеем в векторной форме систему нелинейных уравнений f(x) = 0.

,

Число уравнений должно соответствовать числу переменных.

Разложим f(x) в ряд Тейлора в точке :

Члены выше первого порядка не учитываем. А поскольку в точке, соответствующей решению , запишем

Матрица производных называется Якобианом системы, - отклонение от искомого решения, - значение функции в искомой точке:

Если производные нельзя получить аналитически, то их вычисляют приближенно: для каждой переменной k=1,..., n.

Получили систему линейных уравнений:

, где J(x)- Якобиан.

Ее решение – это вектор .

Следующая итерация определяется так:

для каждой переменной. Номер итерации i. Окончание итераций происходит, в простейшем случае, по заданным

точностям ε ₁ и ε ₂ определения векторов или .

Практическое решение систем нелинейных уравнений задача сложная. Очень многое зависит от выбора начального приближения. Чтобы его выбрать рационально, нужен опыт и проведение предварительных расчетов.

Не всегда удается довести задачу до получения верных результатов. Контроль правильности полученного решения также требует больших усилий и опыта.

Задание для самостоятельной работы:

Решить систему нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона.

а) б)

в) Построить графики и сравнить полученные решения.

г) Составить программу расчета Якобиана для аналитически не дифференцируемой функции.