Эрмитовы сплайны

Эрмитовы сплайны применяют в случае, когда в узловых точках кроме значений функции заданы также и значения ее производных. Если число узлов велико, то применение многочленов Эрмита (см. п. 2.12) приводит к тому, что степень многочлена будет высокой. Применение, в случае кратных узлов, обычных сплайнов может не обеспечить согласование производных сплайна в узлах с заданными производными функции.

Рассмотрим задачу построения кубического эрмитового сплайна. В узловых точках , задаются значения:

, . (2.120)

На интервале , , определим многочлен по аналогии с (2.89):

, (2.121)

где – многочлен Эрмита, построенный по узлам и , каждый из которых имеет кратность равную 2. Уравнения для определения коэффициентов , , , найдем из интерполяционных условий:

, ,

, . (2.122)

Тогда, учитывая что , получим уравнения

, (2.123)

, (2.124)

, (2.125)

. (2.126)

Подставив выражения и из (2.123) и (2.125) в (2.124) и (2.126), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и :

,

. (2.127)

Решение системы (2.90) имеет вид

, (2.128)

. (2.129)

Таким образом, параметры эрмитова сплайна 3-го порядка вычисляются по формулам (2.123), (2.125), (2.128) и (2.129). Так как многочлен для интервала строится независимо от остальных многочленов (), то эрмитовы сплайны называются локальными.

Пример 2.11. Пусть исходные данные приведены в таблице:

Таблица 2.11.

		2, 5	3, 5	5, 5
	0, 9108	0, 7237	-0, 2004	-0, 5184	-0, 0848
	0, 5903	-0, 7726	-0, 9142	0, 7241	0, 9745

Выполнив расчеты параметров эрмитова сплайна по формулам (2.123), (2.125), (2.128) и (2.129) получим результаты, приведенные в следующей таблице:

Таблица 2.12.

На рис. 2.6 приведены график эрмитова сплайна, а также для сравнения график исходной функции f (x).

Рис. 2.7. Интерполяция эрмитовым сплайном

Эрмитовы сплайны отличаются простотой вычислений и дают неплохие результаты аппроксимации. Если имеется необходимость, можно строить эрмитовы сплайны и других порядков, например, 2-го, 4-го и др.