Экономизация степенных рядов. В некоторых задачах достаточно просто получить аппроксимацию функции с помощью ряда Тейлора вида:

В некоторых задачах достаточно просто получить аппроксимацию функции с помощью ряда Тейлора вида:

,

сходящегося при . Тогда может быть применен следующий метод построения аппроксимирующей функции:

1) подбирается значение , такое, чтобы многочлен

,

аппроксимировал функцию с погрешностью, не превышающую величину ;

2) степень многочлена понижается на единицу посредством замены на наилучшее равномерное приближение степени .

Выполнив эти два этапа, получим аппроксимирующий многочлен степени :

.

Погрешность аппроксимации функции определится на интервале оценкой

Такой подход позволяет осуществить экономизацию степенного ряда, не снижая значительно точность аппроксимации. Если полученная оценка позволяет дальнейшую экономизацию степенного ряда, можно попытаться понизить степень аппроксимирующего многочлена еще на единицу.

Экономизацию степенного ряда можно осуществлять также с помощью замены аппроксимирующего многочлена эквивалентным разложением по многочленам Чебышева . Для этого можно воспользоваться выражениями степеней через многочлены Чебышева:

, , ,

, ,

и т.д.

Отметим, для достижения одной и той же точности в отрезке разложения по многочленам Чебышева можно брать, как правило, меньшее число членов, чем в степенной аппроксимации.