Многочлены Чебышева и их свойства

Многочлены Чебышева степени вычисляются по формуле

. (2.30)

Они определены на отрезке . Применяя формулы тригонометрии, вычислим многочлены Чебышева. Для этого введем обозначение , тогда имеем:

, ,

,

, …, и т.д.

Используя тригонометрическое тождество:

,

получим рекуррентное соотношение для вычисления многочленов Чебышева в виде

, (2.31)

со следующими начальными условиями

.

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

1) коэффициент при старшей степени равен (свойство следует из соотношения (2.31));

2) корни многочленов Чебышева вычисляются по формуле

, , (2.32)

(определяются из уравнения );

3) многочлены Чебышева имеют точку экстремума

, , (2.33)

(определяются из уравнения );

4) ;

5) многочлены Чебышева ортогональны с весом :

; (2.34)

6) многочлены Чебышева являются наименее отклоняющимися от нуля на отрезке .

Обоснование последнего свойства следует из теоремы.

Теорема 2.2. Для любого многочлена степени с единичным коэффициентом при старшей степени справедливо неравенство

Доказательство.Допустим противное

Тогда разность является многочленом степени n- 1. В n+ 1 точках многочлен принимает попеременно значения , а так как по предположению то разность попеременно принимает, то положительное, то отрицательное значение в точке. Таким образом, получается, что разность пересекает на интервале ось абсцисс раз, то есть имеет корней. Но это противоречие, так как разность является многочленом степени и должна иметь корень. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что из всех многочленов степени n с единичным коэффициентом при старшей степени, точная верхняя грань на интервале будет наименьшей у многочлена Чебышева . Поэтому, как указывалось в 6-ом свойстве, многочлены Чебышева называются многочленами, наименее отклоняющими от нуля.

Графики многочленов Чебышева 1, 2, 3 и 10 порядка приведены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Графики многочленов Чебышева

Как видно из графиков корни многочлена Чебышева располагаются на интервале чаще вблизи концов интервала.