Интерполяционный многочлен Лагранжа. Определим систему функций в виде

Определим систему функций в виде . Эти функции являются линейно независимыми. Из условия (2.2) совпадения функций и в узлах имеем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов следующего вида

или в матричной форме

(2.5)

Определить системы (2.5)

,

называется определителем Вандермонда и он не равен нулю, если . Таким образом, система функции является системой Чебышева. По теореме Вейерштрасса функция будет полной в классе непрерывных функций на конечном интервале [ ].

Найдем решение системы (2.5), используя правило Крамера

(2.6)

где – определитель матрицы системы (2.5), в которой -ый столбец заменен столбцом свободных членов. Соотношение (2.6) перепишем в виде

(2.7)

где – алгебраические дополнения элементов -го столбца в определителе . Подставим (2.7) в выражение для функции и приведем подобные члены относительно , . Тогда функция запишется в виде

(2.8)

где , – многочлены степени n. Из условия совпадения значений функций и в узлах, т.е. , в силу (2.8), получим

Отсюда следует, что – многочлен, корнями которого являются узлы и его можно построить в виде

где – некоторая константа, которая определяется из условия В результате получим

Тогда функция имеет вид

(2.9)

Подставляя выражение (2.9) в (2.8), получим

(2.10)

Многочлен вида (2.10) называется интерполяционным многочленом Лагранжа (формула (2.10) – формулой Лагранжа). Для того, чтобы отличить этот многочлен от других интерполяционных многочленов, его обозначают Обозначим . Тогда формулу Лагранжа (2.10) можно записать в виде

(2.11)

С вычислительной точки зрения формула Лагранжа не очень удобна, так как если потребуется увеличить степень интерполяционного многочлена, то для этого добавляются к уже имеющимся узлам дополнительные узлы и все вычисления по формуле (2.11) повторяются заново. Формула (2.11) может использоваться и для построения аналитического выражения многочлена Лагранжа.

Пример 2.1. Для таблицы значений функции

Таблица 2.1.

требуется найти аналитическое выражение многочлена Лагранжа.

1. Найдем коэффициенты многочлена, решив систему линейных алгебраических уравнений (2.5), которая в нашем случае будет иметь вид:

.

Решение этой системы будет следующим: , , , а соответствующее аналитическое выражение многочлена Лагранжа имеет вид: .

2. Найдем решение поставленной задачи по формуле Лагранжа (2.10). Тогда

.