Постановка задачи. Пусть в результате эксперимента для некоторой функции получены значения , , , т.е

Пусть в результате эксперимента для некоторой функции получены значения , …, , т.е. задана таблица значений , . Такие таблицы могут быть построены в различных предметных областях. Например, в технике таблица может быть построена по показаниям измерительных приборов, в экономике таблица может являться результатом анализа экономической деятельности фирмы.

На практике наиболее часто встречаются следующие задачи:

- найти значение функции в некоторой точке такой, что

- найти значение по заданному значению функции , , ;

- найти значения производных в точке ;

- найти значение интеграла

- найти для функции , заданной таблично, приближенное аналитическое выражение.

Решения перечисленных задач можно найти, построив для функции интерполяционную функцию .

Отметим, что эти задачи имеют смысл и в том случае, если аналитическое выражение функции известно, но оно очень сложное. В этом случае функцию табулируют и строят для нее интерполяционную функцию. Таким образом, можно получить более простое приближенное аналитическое выражение для функции , которое затем использовать в вычислениях.

Рассмотрим требования, которым должна удовлетворять интерполяционная функция. Пусть – множество вещественных функций, заданных на отрезке . Зададим на множестве счетную систему функций . Построим функцию

(2.1)

где – некоторые, подлежащие определению вещественные коэффициенты. Система функций должна быть линейно независимой. Потребуем, чтобы в точках значения функции совпадали со значениями функции , т.е.

(2.2)

Условие (2.2) – основное требование, которое используется при построении интерполяционных функций. В этом случае функция вида (2.1) называется интерполирующей, а точки – узлами интерполирования. В силу требования (2.2) будем иметь систему линейных уравнений для определения коэффициентов :

. (2.3)

Перепишем систему (2.3) в векторно-матричном виде:

(2.4)

Система уравнений (2.4) имеет единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю, т.е.

.

Система функций , для которой при всех где называется системой Чебышева.

Таким образом, первое условие, которое накладывается на функции , заключается в том, что должны составлять систему Чебышева.

Второе условие, которому должна удовлетворять система функций является условием полноты.

Поясним это условие. Пусть – класс интерполируемых функций и . Семейство линейных комбинаций вида (2.1) называется полным в классе , если для всякой функции и любого существует такое и такие коэффициенты что для всех справедливо неравенство

Отметим также, что для построения аппроксимирующих функций, кроме интерполяционной функции, построенной на основе условия (2.2), используются приближения, минимизирующие сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (см. метод МНК п. 2.14 и п. 2.15.3), и метод аппроксимации с помощью сплайн-функций (см. п. 2.13).