Погрешности простейших функций

Выполним оценку абсолютной и относительной погрешностей простейших функций. При этом будем использовать результаты раздела 1.5 по анализу погрешностей функции многих переменных. Будем предполагать, что абсолютные и относительные погрешности аргументов и () известны.

1. Сложение.

В силу формул (1.3), (1.4) имеем

, .

Очевидно, что справедливо неравенство

.

Таким образом, относительная погрешность суммы не превосходит наибольшей относительной погрешности слагаемых.

1. Вычитание.

.

Тогда

, .

Абсолютная погрешность операции вычитания равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Отметим, относительная погрешность при вычитании близких чисел может быть очень большой. При написании программ необходимо избегать операций вычитания близких чисел. Поэтому целесообразно преобразовать выражение так, чтобы операция вычитания близких чисел исключалась. Например, использование в программе формулы при малом приведет к увеличению относительной погрешности результата, и если эту формулу записать в преобразованном виде: , то такого увеличения относительной погрешности уже не будет.

3. Взвешенное суммирование.

,

где - некоторые заданные числа. Тогда в силу формул (1.3) и (1.4) получим

, .

4. Умножение.

.

Погрешности определятся по формулам:

, .

5. Деление.

.

Погрешности определятся по формулам:

, .

6. Возведение в степень.

().

Абсолютная и относительная погрешности определятся по формулам:

, .

Контрольные вопросы

1. Как определяются математические оценки точности приближенного числа?

2. Чему равна относительная погрешность числа, записанного в двоичной системе, если число разрядов равно и порядок равен ?

3. Чем обусловлена погрешность метода?

4. Чем обусловлена неустранимая погрешность?

5. Чем обусловлена погрешность округления?

6. Как определяется погрешность числа, заданного с верными знаками в узком смысле?

7. Записать число c верными знаками в узком смысле, если оно задано с погрешностью .

8. Записать число c верными знаками в узком смысле, если оно задано с погрешностью .

9. Чему равна абсолютная погрешность в узком смысле числа 5, 4563 заданного с верными знаками?

10. Записать число c верными знаками в узком смысле, если оно задано с погрешностью .

11. Чему равна абсолютная погрешность функции многих переменных ( – абсолютные погрешности аргументов)?

12. Чему равна относительная погрешность функции многих переменных ( – относительные погрешности аргументов)?

13. Относительная погрешность функции многих переменных зависит от чувствительностей, что определяют чувствительности?

14. Как определяется абсолютная и относительная погрешности разности двух чисел?

15. Что необходимо предпринимать при вычитании двух близких чисел?

16. Как определяятся обратная задача в теории погрешностей?

17. Как определяются абсолютная и относительная погрешность произведения?

18. Как определяются абсолютная и относительная погрешность частного?

19. Как определяются абсолютная и относительная погрешность возведения в степень?

20. Как определяются абсолютная и относительная погрешность при взвешенном суммировании?