Разделенные разности и их свойства

Для функции заданной таблично: , , где , , построим разделенные разности первого порядка

, . (2.18)

Вычислив разделенные разности первого порядка можно определить разделенные разности второго порядка:

, . (2.19)

По аналогии можно вычислять разделенные разности и более высоких порядков, например, разделенные разности -го порядка определяются по формуле:

, (2.20)

при этом индекс должен изменяться от до . Все разделенные разности удобно представить в табличном виде, например, для таблица имеет вид:

Таблица 2.3.

		Разделенные разности 1-го порядка	Разделенные разности 2-го порядка	Разделенные разности 3-го порядка

Основное свойство разделенных разностей связывает разделенные разности с табличными значениями функции с помощью следующей формулы:

. (2.21)

Доказательство этой формулы может быть выполнено с помощью метода математической индукции. Действительно справедливость формулы (2.21) для разделенных разностей первого порядка очевидна в силу соотношения:

.

Далее, используя индуктивное предположение (2.21) и формулу (2.20) при и , легко доказывается справедливость формулы (2.21) для .

Перечислим основные следствия, которые вытекают из формулы (2.21).

Следствие 1. Разделенные разности являются симметрическими функциями своих аргументов. Это позволяет переставлять у разделенных разностей их аргументы.

Следствие 2. Разделенные разности обладают свойством аддитивности. То есть разделенная разность от суммы двух функций равна сумме разделенных разностей слагаемых, вычисленных в одних и тех же узлах.

Следствие 3. Постоянный множитель можно выносить за знак операции разделенной разности.

Следствия 2 и 3 означают, что операция взятия разделенной разности является линейной. Отметим также, что вычисление разделенной разности от многочлена понижает его степень на единицу. Ниже в разделе 2.6 мы получим свойство связи разделенных разностей с производными.