Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа

Рассмотренные выше способы вычисления многочлена Лагранжа – формула Лагранжа, схема Эйткена и формула Ньютона, дают одинаковую погрешность метода, которую можно оценить, зная выражение для остаточного члена формулы Лагранжа.

Пусть функция , подлежащая интерполированию, на интервале имеет непрерывные производные до порядка включительно. Тогда, как показано в п. 2.4, остаточный член многочлена Лагранжа имеет вид:

(2.35)

где – некоторое число, принадлежащее интервалу . Анализируя остаточный член (2.35) видно, что при неудачном расположении узлов интерполирования значение

может оказаться очень большим. Поэтому возникает задача выбора узлов интерполирования (при заданном n) таких, чтобы величина

была минимальной или иначе многочлен был бы наименее отклоняющимся от нуля на отрезке [ ]. Как отмечалось в п. 2.8, наименее отклоняющимися от нуля являются многочлены Чебышева. Многочлен имеет единичный коэффициент при старшей степени и для этого многочлена справедливо

Отсюда вытекает, что если требуется минимизировать погрешность метода при интерполировании на интервале с помощью многочлена Лагранжа, то в силу (2.35), необходимо выбрать многочлен так, чтобы была наименьшей. А это можно достигнуть, если в качестве взять многочлен Чебышева , который является наименее отклоняющимся от нуля. При этом в качестве узлов интерполирования необходимо взять корни многочлена Чебышева степени

(2.36)

Погрешность метода при интерполировании на интервале будет минимальной и определится по формуле:

(2.37)

В случае интерполирования на произвольном интервале вводится линейное преобразование

, (2.38)

где . Тогда узлы интерполирования на будут следующие:

, (2.39)

Для оценки погрешности метода при интерполировании на интервале [ ], необходимо найти верхнюю грань . Оценим эту величину, учитывая свойства многочленов Чебышева:

. (2.40)

Тогда в силу (2.40), погрешность метода при интерполировании на интервале [ ] определится по формуле

(2.41)