Интерполирование с кратными узлами

Пусть на интервале располагаются узлов интерполирования и пусть в этих узлах заданы не только значения функции , , но и значения некоторых ее производных , . Такие узлы называются кратными узлами ( – кратность узла , если при этом равно 1, то такой узел называется однократным). Будем предполагать, что сумма кратностей узлов равна . Аппроксимирующий многочлен степени , построенный на основе выполнения следующих условий

, , , (2.43)

называется интерполяционным многочленом Эрмита. По определению считается, что и .

Если задать многочлен Эрмита в виде

, (2.44)

то неизвестные коэффициенты () можно определить из системы линейных уравнений:

, , …, ,

, , …, ,

, , …, . (2.45)

Система уравнений (2.45) состоит из уравнения и содержит неизвестный параметр.

Отметим, что можно доказать единственность и существование интерполяционного многочлена Эрмита.

Для определения остаточного члена многочлена Эрмита можно воспользоваться теоремой.

Теорема 2.3. Если непрерывная и раз кратно дифференцируемая функция на интервале , то существует некоторая точка , такая что остаточный член многочлена Эрмита равен:

, (2.46)

где , .

Доказательство этой теоремы может быть выполнено по аналогии с доказательством теоремы 2.1.