Интерполяционная схема Эйткена

Применение формулы Лагранжа для вычисления интерполяционного многочлена в точке неудобно из-за ее громоздкости. Существенно упростить расчет интерполяционного многочлена в конкретной точке можно, используя интерполяционную схему Эйткена, которая заключается в следующем.

На первом этапе строится последовательность многочленов первой степени по двум рядом стоящим узлам:

Очевидно, что все построенные многочлены являются многочленами Лагранжа (здесь ). На втором этапе строится последовательность многочленов Лагранжа 2-ой степени, при этом используются многочлены, вычисленные на предыдущем этапе. Расчеты выполняются по формулам:

Количество таких многочленов будет на 1 меньше чем на предыдущем этапе. Наконец на n- ом этапе строится многочлен Лагранжа степени n по формуле

Это и будет значение многочлена Лагранжа степени n в точке , построенного по узлам .

Применяя схему Эйткена, можно подключить новые узлы, увеличивая при этом степень интерполяционного многочлена, при этом не требуется полностью повторять все предыдущие вычисления заново.

Расчеты по интерполяционной схеме Эйткена можно представить в виде следующей таблицы

Таблица 2.2.

Пример 2.2. Рассмотрим задачу вычисления многочлена Лагранжа в заданной точке для таблицы 2.1. Расчеты выполним для точки . Схема Эйткена дает следующие результаты:

; ;

.

Подставив в аналитическое выражение многочлена Лагранжа, полученное в примере 2.1 значение , имеем тот же результат:

.