Указания к выполнению работы. В таблице исходных данных Excel задаются границы интервала и шаг интегрирования

В таблице исходных данных Excel задаются границы интервала и шаг интегрирования . Расчет сводится к табулированию подынтегральной функции с определенным шагом и вычислению интеграла по формулам:

(”левых” прямоугольников),

(”правых” прямоугольников).

Расчеты оформить в двух таблицах Excel следующего вида.

i

Здесь i – номер точки на заданном отрезке интегрирования (удобно начинать отсчет с номера i = 0); - значение точки на отрезке интегрирования, изменяющееся с определенным шагом; - значение подынтегральной функции в рассматриваемой точке исходного отрезка интегрирования. В отдельных ячейках вычисляются суммы значений подынтегральной функции и приближенное значение интеграла.

Для задания 12-1 значение шага определяется дважды: для числа интервалов n и для удвоенного числа интервалов (т.е. при уменьшенном вдвое шаге). Соответственно строятся две таблицы и интеграл вычисляется дважды, затем его приближенные значения сравниваются по правилу Рунге и определяется погрешность численного интегрирования.

Допустимо расчет оформлять в виде одной таблицы, дополнив ее столбцом для значений функции при числе интервалов , а табулирование проводить сразу с половинным шагом. При этом значение функции для числа шагов n в промежуточных точках должны быть равны нулю. Это достигается применением встроенной функции, определяющей четность номера точки.

Для задания 12-2 принять начальное значение числа интервалов n = 4. После вычисления интеграла значение шага нужно уменьшать вдвое и повторно вычислять в отдельной таблице значение интеграла, затем оценить погрешность результата. Уменьшение числа шагов и повторное вычисление интеграла производится до тех пор, пока абсолютная погрешность, оцененная по правилу Рунге, не станет меньше предельно допустимой.

Вопросы к заданию 12

1. Какие инженерные задачи по избранной специальности требуют вычисления определенных интегралов?

2. Какова геометрическая интерпретация методов прямоугольников?

3. Как оценить абсолютную погрешность интегрирования по методам прямо-угольников?

4. Если можно аналитически оценить погрешность интегрирования по методу прямоугольников, то как следует выбрать число интервалов интегрирования при заданной предельной абсолютной погрешности?

ЗАДАНИЕ 13. МЕТОД ТРАПЕЦИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

13-1. Вычислить приближенное значение интеграла при заданном числе

интервалов с помощью метода трапеций. Оценить абсолютную погрешность по методу Рунге и относительную погрешность результата. Построить график подынтегральной функции.

13-2. Вычислить приближенное значение интеграла с абсолютной погрешностью, не превышающей 0, 01 с помощью метода трапеций. Определить число интервалов интегрирования, при котором достигается требуемая точность. Построить график подынтегральной функции. Оценить относительную погрешность конечного результата.

Использовать исходные данные из предыдущего задания.