Указания к выполнению работы.

Проверка достаточных условий сходимости итерационной последовательности может проводиться различными способами. Один из них состоит в проверке доминирования по модулю элементов на главной диагонали для матрицы коэффициентов при неизвестных, составленной для исходной СЛУ. Если такие условия не выполняются, то следует преобразовать исходную СЛУ с помощью линейных операций.

После преобразования СЛУ для удовлетворения достаточных условий сходимости и перед применением итерационных методов необходимо еще раз преобразовать СЛУ так, чтобы в левой части каждого уравнения оставались переменные с номером соответствующего уравнения. Для СЛУ система должна принять вид:

В качестве начального приближения может быть выбран вектор свободных членов.

Расчеты проводить в следующей таблице.

Условие остановки по

Здесь – номер итерации; значения , , - текущие решения СЛУ; , , - правые части первого, второго и третьего преобразованный уравнений; , , - текущие оценки абсолютной погрешности для , , ; = max(, , ) – это оценка абсолютной погрешности всей СЛУ на текущей итерации; = - относительная погрешность решения всей СЛУ (используется для построения графика). Условие остановки состоит в анализе < . Это условие будет выполнено, если существует покомпонентная сходимость, т.е. наблюдается уменьшение погрешности для каждой переменной с ростом числа итераций.

Кривые изменения оценок абсолютных погрешностей для каждой переменной и в целом для СЛУ в зависимости от числа итераций должны располагаться на одном графике, а кривая относительной погрешности – на другом графике.

Вопросы к заданию 10

1. Запишите систему линейных уравнений с исходными данными для определенного варианта задания.

2. К какому классу методов решения СЛУ относится метод простых итераций?

3.Что означает сходимость итерационного процесса применительно к решению СЛУ?

4. Сформулируйте достаточные условия сходимости СЛУ для метода простых итераций.

5. Какие действия нужно предпринять, если достаточные условия сходимости, проверенные на исходной СЛУ, не выполняются?

6. К какому виду необходимо привести СЛУ, чтобы можно было применить итерационные методы?

7. Какое решение можно принять в качестве начального?

8. В каком случае необходимо остановить вычислительный процесс?

9. Какие столбцы можно добавить в расчетную таблицу, чтобы упростить вычисление ?

10. Какова оценка относительной погрешности после 3, 4, 5 шагов итераций для этого метода? Выписать результаты.

ЗАДАНИЕ 11. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

11-1. Проверить достаточные условие сходимости метода Зейделя для заданной СЛУ. При необходимости преобразовать исходную СЛУ. Решить СЛУ методом Зейделя, выполнив 3 шага итерационного процесса. Оценить абсолютную погрешность результата.

11-2. Проверить достаточные условие сходимости метода Зейделя. При необходимости преобразовать исходную СЛУ. Решить СЛУ методом Зейделя с абсолютной точностью не ниже 0, 001. Определить требуемое число шагов вычислительного процесса. Вывести график изменения абсолютной погрешности для каждого уравнения и в целом по всей СЛУ в зависимости от числа шагов вычислительного процесса и график изменения относительной погрешности для всей СЛУ.

Исходные данные взять из таблицы вариантов для решения СЛУ по правилу Крамера.