Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

При рассмотрении какого-либо явления бывает необходимо установить зависимость одной величины от другой, например, зависимость у от х. То есть необходимо найти функцию .

Однако в ряде случаев установление явной зависимости оказывается невозможным, но имеется зависимость между величинами , ее производными и, возможно, аргументом , т.е. можно написать такое уравнение

(, , , , …, ⁽ⁿ⁾) = 0. (1)

Определение.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . Символически дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

( ) = 0. (2)

Записи (1) и (2) равнозначны.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция есть функция одного независимого аргумента.

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение

^׀ + =2

является уравнением 1-го порядка.

Уравнение ^{׀ ׀ ׀} -5 ^{׀ ׀} +17 ^׀ -13 = ^v׀ есть уравнение 6-го порядка.

Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными, обращает его в тождество относительно .

Пример. Для уравнения первого порядка

функции и вообще функции вида являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянной . В этом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение.

Решать дифференциальные уравнения мы начнем на примерах уравнений первого порядка.

1. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

') = 0. (17.1)

Разрешив его относительно ', если это возможно, мы можем написать

' = . (17.2)

В этом случае говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция, которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному при любом конкретном значении постоянного ;

б) каково бы ни было условие при , т.е. , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.