Схема Гаусса с выбором главного элемента

Рассмотренный метод, называемый схемой единственного деления, обладает следующими недостатками.

1) Если ведущий элемент какой-либо строки (пусть коэффициент a ₁₁ при x ₁ в первом уравнении) окажется равным нулю, то эта схема формально не пригодна, ходя система может иметь решение.

2) В процессе вычислений могут встретиться ведущие элементы, которые малы по сравнению с другими элементами. Это вызовет увеличение погрешностей в результате деления на малое число.

Рассмотрим схему с выбором главного элемента, которая менее чувствительна к погрешностям округления и всегда приводит к единственному решению, если оно есть. Эта схема не сильно отличается от рассмотренной выше.

Пусть, как и прежде, дана система:

------------------------------- (16.20)

Предположим, что коэффициент , Если это условие не выполняется, то путем перестановки двух уравнений системы, а потом, если это потребуется, двух столбцов неизвестных со своими коэффициентами, добьемся того, чтобы коэффициент в верхнем левом углу системы оказался наибольшим. Найденный коэффициент при перенумерации обозначим . Этот коэффициент называется первым главным элементом. Затем, разделив на первое уравнение, приводим его к виду: или

(16.21)

Исключив из второго, третьего и т.д. уравнений, получаем систему из уравнений с неизвестными.

Далее с этой системой поступаем аналогично, как и со всей исходной системой, а именно, осуществив, если нужно, перестановку двух уравнений, а также. возможно, двух столбцов неизвестных с их коэффициентами, и произведя соответствующую перенумерацию, обеспечиваем выполнение неравенств ,

Найденный максимальный по модулю коэффициент, обозначенный, называется

вторым главным элементом. Разделив на уравнение, стоящее теперь на первом месте, приведем его к виду:

или

(16.22)

С помощью уравнения (16.22) теперь можно избавиться в системе от неизвестного .

После этого имеем систему из уравнений с неизвестными. Продолжая выделять главные элементы системы, добираемся до последнего уравнения с одним неизвестным

(16.23)

или .

Это был прямой ход схемы. Обратный ход выполняется аналогично описанной ранее схеме.